【CG】仿射变换(Affine Transformation)

定义

• 简单来说，“仿射变换”= “线性变换”+“平移”
• 线性变换
  
  • 变换前是直线的，变换后依然是直线
  • 变换前是平行线的，变换后依然是平行线
  • 变换前是原点的，变换后依然是原点
• 仿射变换
  
  • 变换前是直线的，变换后依然是直线
  • 变换前是平行线的，变换后依然是平行线
• 所以，线性变换一定是仿射变换，仿射变换不一定是线性变换

图示

如上图线性变换就是通过 翻转，旋转，缩放，错切 这四种原子变换复合而成的变换；仿射变换就是通过 平移，翻转，旋转，缩放，错切 这五种原子变换复合而成的变换。

齐次坐标表达

以二维图像的仿射变换为例，

在二维平面上

• 线性变换 y⃗ =Ax⃗  y → = A x →
• 仿射变换 y⃗ =Ax⃗ +b⃗  y → = A x → + b →

引入齐次坐标表示

• 仿射变换

  [y⃗ 1]=[A0,..,0b⃗ 1][x⃗ 1] [ y → 1 ] = [ A b → 0 , . . , 0 1 ] [ x → 1 ]
  
  展开来看，就是
  ⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢a11a210a12a220t1t21⎤⎦⎥⎡⎣⎢x0y01⎤⎦⎥ [ x y 1 ] = [ a 11 a 12 t 1 a 21 a 22 t 2 0 0 1 ] [ x 0 y 0 1 ]

• 从代数角度看，仿射变换矩阵具有 6 个自由度，一组对应点 (x0,y0)⇐⇒(x,y) ( x 0 , y 0 ) ⇐⇒ ( x , y ) 可以提供两个等式，因此基于不共线的三组对应点，可以唯一确定仿射变换。

• 从几何角度看，齐次坐标把二维上的仿射变换升维成了三维上的线性变换。可以去 Wikipedia上看这个的动图
  

Ref

• Affine transformation - Wikipedia