算法：动态规划-区间模型之最少添加几个字符使得字符串变成回文串

本文章为算法：动态规划——区间模型例题的解决方案
题目：给定一个长度为n（n <= 1000）的字符串A，求插入最少多少个字符使得它变成一个回文串。

思路：

典型的动态规划区间模型，区间模型的状态表示一般为d[i][j]，表示区间[i, j]上的最优解，然后通过状态转移计算出[i+1, j]或者[i, j+1]上的最优解，逐步扩大区间的范围，最终求得[1, len]的最优解。

回文串拥有很明显的子结构特征，即当字符串X是一个回文串时，在X两边各添加一个字符‘a’后，aXa仍然是一个回文串，我们用d[i][j]来表示A[i…j]这个子串变成回文串所需要添加的最少的字符数，那么对于A[i] == A[j]的情况，很明显有 d[i][j] = d[i+1][j-1] （这里需要明确一点，当i+1 > j-1时也是有意义的，它代表的是空串，空串也是一个回文串，所以这种情况下d[i+1][j-1] = 0）；当A[i] != A[j]时，我们将它变成更小的子问题求解，我们有两种决策：

1、在A[j]后面添加一个字符A[i]；
2、在A[i]前面添加一个字符A[j]；

根据两种决策列出状态转移方程为：

d[i][j] = min{ d[i+1][j], d[i][j-1] } + 1; (每次状态转移，区间长度增加1)

空间复杂度O(n²)，时间复杂度O(n²)，

代码：

    public int minAdd(String string) {
		char[] str = string.toCharArray();
		int len = str.length;
		int[][] vec = new int[len][len];//用于存储字符串从i位置到j位置构成汇文串需要最少添加的字符数量
		for(int k = 1 ; k < len ; k ++) {//i位置与j位置的间隔（自字符串长度-1），一般情况下，拆分成最小子问题时，k的初始值应为0，但因java创建数组是已经对每一个节点赋予了初始值0，故k为0时可以省略
			for(int i = 0; i+k < len ; i++) {
				int j = i + k ;
				if(str[i]==str[j]) {
					vec[i][j]=vec[i+1][j-1];
				}else {
					vec[i][j]=Math.min(vec[i+1][j],vec[i][j-1])+1;
				}
			}
		}
		return vec[0][len-1];
	}