opencv基础：罗德里格斯旋转公式（Rodrigues' rotation formula）推导 rodrigues()函数原理

参考：1—https://openhome.cc/Gossip/WebGL/Rodrigues.html（比较好的理解流程）
2—https://www.cnblogs.com/wtyuan/p/12324495.html（推导出旋转矩阵R）
建议看原链接！！
具体如下：

        
在〈转换矩阵〉中谈到的旋转，是顶点绕着X、Y或Z轴转动，然而有时会需要绕着指定的特定轴来旋转顶点，轴的部份会使用向量来表示，例如下图，使用u来表示旋转轴，旋转角度为θ：

如果对于3D方面的数学有些涉猎，看到这个需求应该会想到四元数与旋转，就结论来说，可以将这个需求化为一个四元数，然而套用四元数旋转矩阵，就可以达成任务，然而，若你对四元数或其旋转矩阵的导证有兴趣，认识Rodrigues旋转公式的导证，会有所帮助。

首先，旋转时的圆路径构成一个平面，该平面与u 正交，把这个平面置于原点，若未旋转的顶点使用向量v 来表示，可以将之分解为两个向量v1、v2：

v1为v在u上的投影，而v2为v在平面上的投影，a为v1、v2的夹角，根据内积公式u‧v = |u||v| cos(a)，若要求得v1可以如下：

实际上对于旋转轴u，只需关心它的方向，不用在意它的大小，因此u 可以用单位向量指定，也就是|u| 会是1，结果就是：

接下来要绕着u 旋转v 得到v'，就可以看成是v1 与v2 绕着u 旋转，若旋转后分别得到v1' 与v2'，最后得到v' = v1' + v2'：

对于v1 来说，因为跟u 平行，旋转后还是相同，也就是v1' = v1，至于v2 的转动，可以分解为平面上的两个向量：

为了能计算v2' 在上图中垂直轴上的投影，必须要有垂直轴的向量w，因为指定的旋转轴u 与v2 正交，那么w 可以由u 与v2 的外积取得，也就是w = ux v2，单位向量为w/|w|，因此v21' 与v22' 会是：

因为|v2'| 就是|v2|，因此：

外积公式a x b = |a||b|sin(a) n，n为与a、b正交的单位向量，在这边a为u，b为v2，而u与v2正交，因此ux v2 = |u||v2| n，n就是w/| w|，因此|w|就是|u||v2|w / (ux v2)，u是单位向量，|u|为1，因此|w|为|v2|w / (ux v2)，代入上面的式子化简后得到：

因此v2' = v21' + v22' = sin(θ)(ux v2) + cos(θ)v2，其中ux v2 可以是ux (v - v1) = uxv - ux v1，因为u 与v1 平行，ux v1为0，所以ux v2 会是uxv，最后就是v2' = sin(θ)(uxv) + cos(θ)v2。

因为v旋转后得到v' = v1' + v2'，前面已导出v1' = v1，而v1 = (u‧v) u，v2 = v - (u‧v) u，因此
v'为(u‧ v) u + sin(θ)(uxv) + cos(θ)(v - (u‧v) u)，整理一下可以得到最后的旋转公式：

公式是导出来了，不过看起来复杂，有个轴角（axis–angle）转换矩阵与要转动的向量结合后，等价于此公式，不过矩阵相对于四元数旋转矩阵来说，还是复杂许多，因而比较少见到这个公式的运用或实作。

不过，利用分解向量以及有些向量之间的正交关系，来导证出旋转公式的过程，与导证四元数旋转矩阵的过程会有关联，这之后再来简单聊聊！