【回溯法】－－01背包问题

回溯法

回溯法是一种非常有效的方法，有“通用的解题法”之称。它有点像穷举法，但是更带有跳跃性和系统性，他可以系统性的搜索一个问题的所有的解和任一解。回溯法采用的是深度优先策略。
回溯法在确定了解空间的结构后，从根结点出发，以深度优先的方式搜索整个解空间，此时根结点成为一个活结点，并且成为当前的扩展结点。每次都从扩展结点向纵向搜索新的结点，当算法搜索到了解空间的任一结点，先判断该结点是否肯定不包含问题的解（是否还能或者还有必要继续往下搜索），如果确定不包含问题的解，就逐层回溯；否则，进入子树，继续按照深度优先的策略进行搜索。当回溯到根结点时，说明搜索结束了，此时已经得到了一系列的解，根据需要选择其中的一个或者多个解即可。
回溯法解决问题一般分为三个步骤；
（1）针对所给问题，定义问题的解空间；
（2）确定易于搜索的解空间结构；
（3）以深度优先的方式搜索解空间。

算法分析

【整体思路】

01背包属于找最优解问题，用回溯法需要构造解的子集树。对于每一个物品i，对于该物品只有选与不选2个决策，总共有n个物品，可以顺序依次考虑每个物品，这样就形成了一棵解空间树： 基本思想就是遍历这棵树，以枚举所有情况，最后进行判断，如果重量不超过背包容量，且价值最大的话，该方案就是最后的答案。

在搜索状态空间树时，只要左子节点是可一个可行结点，搜索就进入其左子树。对于右子树时，先计算上界函数，以判断是否将其减去（剪枝）。

上界函数bound():当前价值cw+剩余容量可容纳的最大价值<=当前最优价值bestp。

为了更好地计算和运用上界函数剪枝，选择先将物品按照其单位重量价值从大到小排序，此后就按照顺序考虑各个物品。

那么问题的解空间就很明显了就是2的8次方个种问题的解的组合{（0,0,0,0,0,0,0,0）…(1,1,1,1,1,1,1,1)}。
采用深度优先策略进行搜索，搜索的过程如下所示；

搜索得到的最终的结果就是159；
搜索过程分析（可以对照代码阅读）
从第一个点开始向下扩展，扩展到将第四个点放入放入后，此时背包已经放入重量为56，价值为96。然后继续扩展，将第五个物品放入重量为89，价值为139。此时第六个物品无法继续放入，但是i=5的，也就是没有到达最后一个点，此时调用Bound()函数算出可能获得的最大的价值为164.66，那么继续向下扩展，但是无法放入物品了，继续调用Bound()判断是否向下扩展，直到最后一个物品也无法放入，确定此时搜索得到的可以获得的最大的价值为139，保存物品放入的选择。
然后开始回溯，回溯遇到第一个放入背包的物品对应的节点，将其取0（把物品拿出背包，进入右子树）。此时比较背包剩余重量，发现第六个物品可以放入背包，放入后背包重量为99，价值为149。但是，第七个物品无法继续放入，那么调用Bound()，发现可能获得162的价值，大于139，继续向下扩展，直到最后一个物品也无法放入，确定此时搜索得到的可以获得的最大的价值为149>139，更新可获得的价值，并且保存物品放入的选择。
继续回溯，直到回溯到根结点。此时的最大价值所对应的物品放入选择就是所求的解。

#include 
#include 
using namespace std;
int n;//物品数量
double c;//背包容量
double v[100];//各个物品的价值　value
double w[100];//各个物品的重量　weight
double cw = 0.0;//当前背包重量　
double cp = 0.0;//当前背包中物品总价值　
double bestp = 0.0;//当前最优价值
double perp[100];//单位物品价值(排序后)
int order[100];//物品编号
int put[100];//设置是否装入，为1的时候表示选择该组数据装入，为0的表示不选择该组数据 记录当前最优解
int x[100];//记录从根到当前结点的路径

//按单位价值排序
void knapsack()
{
    int i,j;
    int temporder = 0;
    double temp = 0.0;
    for(i=1;i<=n;i++)
        perp[i]=v[i]/w[i]; //计算单位价值（单位重量的物品价值）默认重量不为0
    for(i=1;i<=n-1;i++)//也可以将其封装成类 则只需用 sort函数排序perp数组，就可以省略3个数组的交换赋值
        for(j=1;j<=n-i;j++)
            if(perp[j]<perp[j+1])//冒泡排序perp[] (order[],v[],w[]跟随perp[]变化)
            {
                temp = perp[j];  //冒泡对perp[]排序
                perp[j]=perp[j+1];
                perp[j+1]=temp;

                temporder=order[j];// 保存物品编号
                order[j]=order[j+1];
                order[j+1]=temporder;

                temp = v[j];
                v[j]=v[j+1];
                v[j+1]=temp;

                temp=w[j];
                w[j]=w[j+1];
                w[j+1]=temp;
            }
}
//回溯函数
void backtrack(int i) //i用来指示到达的层数（第i步，从1开始）,同时也指出当前选择了几个物品
{   
    double bound(int i);//定义一个上界函数
    if(i>n) //递归结束的判定条件 到达叶节点 n+1层
    {       //只有更优解才能进入叶节点
        for(int j=1;j<=n;j++)
            put[j]=x[j];//搜索到叶节点处(更优解)就修正put[]的值
        bestp = cp;
        return;
    }
    //如若左子节点可行，则直接搜索左子树;
    //对于右子树，先计算上界函数，以判断是否将其剪去
    if(cw+w[i]<=c)//将物品i放入背包,搜索左子树
    {
        cw+=w[i];//同步更新当前背包的重量
        cp+=v[i];//同步更新当前背包的总价值
        x[i]=1;//记录当前路径
        backtrack(i+1);//深度搜索进入下一层
        cw-=w[i];//回溯复原
        cp-=v[i];//回溯复原
        x[i]=0;//回溯复原
    }

    if(bound(i+1)>bestp){
            //如若符合条件则搜索右子树
        backtrack(i+1);
    }
}

//计算上界函数，功能为剪枝
double bound(int i)
{   //判断当前背包的总价值cp＋剩余容量可容纳的最大价值<=当前最优价值
    double leftw= c-cw;//剩余背包容量
    double b = cp;//记录当前背包的总价值cp,最后求上界
    //以物品单位重量价值递减次序装入物品
    while(i<=n && w[i]<=leftw)
    {
        leftw-=w[i];
        b+=v[i];
        i++;
    }
    //装满背包
    if(i<=n)
        b+=v[i]*leftw/w[i];
    return b;//返回计算出的上界

}

int main()
{
    int i;
    printf("请输入物品的数量和背包的容量：");
    scanf("%d %lf",&n,&c);
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf",&w[i]);
        scanf("%lf",&v[i]);
        order[i]=i;//保存物品编号
    }
    knapsack();
    backtrack(1);
    printf("最优价值为：%lf\n",bestp);
    printf("需要装入的物品编号和质量分别是：\n");
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(put[i]==1){
            printf("%d ",order[i]);
            cout<<v[i]<<endl;
        }
    }
    return 0;
}