#10010. 「一本通 1.1 练习 6」糖果传递

【题目描述】

原题来自：HAOI 2008

有 n 个小朋友坐成一圈，每人有 ai​ 颗糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一颗糖果的代价为 1 。求使所有人获得均等糖果的最小代价。

【输入格式】

第一行有一个整数 n ，表示小朋友个数；

在接下来 n 行中，每行一个整数 ai​。

【输出格式】

输出使所有人获得均等糖果的最小代价。

【样例输入】

4
1
2
5
4

【样例输出】

4

【数据范围与提示】

对于 30% 的数据，n≤1000；

对于 100% 的数据，n≤106，保证答案可以用 64位有符号整数存储。

思路：有点内疚，这道题想了蛮久的，一直都没有搞清楚两两之间的差值应该怎么表示出来，后面才知道这个其实是一个方程，就是要求出每一个小朋友在传递糖果时的变化。

【推理过程】

首先，最终每个小朋友的糖果数量可以计算出来，等于糖果总数除以n，用ave表示。

假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果，Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果，如果Xi<0，说明第i-1个小朋友给了第i个小朋友Xi颗糖果，X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。 所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。

对于第一个小朋友，他给了第n个小朋友X1颗糖果，还剩A1-X1颗糖果；但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果，所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。根据题意，最后的糖果数量等于ave，即得到了一个方程：A1-X1+X2=ave。

同理，对于第2个小朋友，有A2-X2+X3=ave。最终，我们可以得到n个方程，一共有n个变量，但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程，所以实际上只有n-1个方程是有用的。

尽管无法直接解出答案，但可以用X1表示出其他的Xi，那么本题就变成了单变量的极值问题。

对于第1个小朋友，A1-X1+X2=ave  ->  X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假设C1=A1-ave，下面类似）

对于第2个小朋友，A2-X2+X3=ave  ->  X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2(假设C2=A2-ave，下面类似)

对于第3个小朋友，A3-X3+X4=ave  ->  X4=ave-A3+X3=3ave-A1-A2-A3+X1=X1-C3

……

对于第n个小朋友，An-Xn+X1=ave。

  我们希望Xi的绝对值之和尽量小，即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离，所以问题变成了：给定数轴上的n个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数，绝对值的计算，不解释上代码。

[代码实现】

#include
#include
#include
#include
#define ll long long 
using namespace std;
inline int read()//日常快读 
{
	char c=getchar();
	ll x=0,f=1;
	while(c<48 || c>57)
	{
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>=48 && c<=57)
	{
		x=x*10+c-48;
		c=getchar();
	}
	return x*f;
}
ll a[1110000],x[1110000];
int main()
{
	int n; n=read();
	ll sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]=read();
		sum+=a[i];
	}
	sum=sum/n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		x[i]=x[i-1]+sum-a[i];//两两之间的差
		/*
			这句话的意思就是：比如说
			对于第一个小朋友，他给了第n个小朋友X1颗糖果，
			还剩A1-X1颗糖果；但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果，
			所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。
			根据题意，最后的糖果数量等于sum，
			即得到了一个方程：A1-X1+X2=sum。
		 	X2=sum+X1-A1
			就是这个意思
			所以我们就一直转化带入就好了 
		*/ 
	}
	sort(x+1,x+n+1);
	ll k=x[(n+1)/2];//中位数使得绝对值最小 
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans+=abs(x[i]-k);//防止负数取绝对值 
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

大概就是这样，只要把方程之间的转化搞清楚就不难。 

小小庆祝一下，loj的贪心题全部做完，进入二分奋战。