【OpenCV】对比度增强之直方图均衡化(全局)
直方图均衡化属于数字图像处理中灰度变换(intensity transformation)的内容，灰度变换的目的就是找到一个合适的映射函数s=T ( r ) (r) (r).将原图像的灰度值映射到新的图像中，已达到优化图像的目的。
直方图均衡化是通过调整图像的灰阶分布，使得在0~255灰阶上的分布更加均衡，提高了图像的对比度，达到改善图像主观视觉效果的目的。直方图均衡化的中心思想是把原始图像的的灰度直方图从比较集中的某个区域变成在全部灰度范围内的均匀分布。对比度较低的图像适合使用直方图均衡化方法来增强图像细节。
直方图均衡数学背景是将一个分布（强度值给定的直方图）映射到另一个分布（强度值更宽和理想的均匀分布）。也就是说，我们希望在新分配中尽可能均匀分布原始分布的y值。事实证明，解决扩展分布值的问题的一个好方法是：重映射函数应该是累积分布函数。
公式的连续化
假设原图像的灰度统计直方图标准化后为 P r ( r ) P_r(r) Pr(r).原图像灰度范围为(0~L-1).那么直方图均衡化找到的就是这样一个映射函数：
S=(L-1) ∫ 0 r p r ( w ) d x \int^{r}_0p_{r}(w){\rm d}x ∫0rpr(w)dx
设映射后的图像的灰度分布为 p s ( s ) p_s(s) ps(s),再由概率论相关理论（随机变量函数的概率密度与随机变量概率密度的关系）可知：
p s ( s ) p_s(s) ps(s)= p r ( r ) p_r(r) pr(r)| d r d s \frac{{\rm d}r}{{\rm d}s} dsdr|
对映射函数两边进行求导
d s d r \frac{{\rm d}s}{{\rm d}r} drds=(L-1) p r ( r ) p_r(r) pr(r)
所以我们可以得到变换后的图像直方图分布为
p s ( s ) p_s(s) ps(s)= p r ( r ) p_r(r) pr(r)| 1 d s d r \frac{1}{\frac{{\rm d}s}{{\rm d}r}} drds1|= p r ( r ) 1 ( L − 1 ) p r p_r(r)\frac{1}{(L-1)p_r} pr(r)(L−1)pr1= 1 L − 1 \frac{1}{L-1} L−11
我们可以看到变换后的图像灰度直方图分布恒为1/(L-1),这就达到了上面的目的,使得图像的灰度分布更均匀,层次感更强.
注:在灰度变换中,变化函数T®需要满足下面的两点要求，
1.当0 ≤ \leq ≤r ≤ \leq ≤L-1时, T ( r ) T(r) T(r) 是一个严格递增函数。
2.当0 ≤ \leq ≤r ≤ \leq ≤L-1时，0 ≤ \leq ≤ T ( r ) T(r) T(r) ≤ \leq ≤L-1
第一点要求的原因是，对于变化前像素和变换后像素灰度的明暗顺序不能改变，之所以要严格递增，是为了确保变化前和变换后像素可以一一对应。
第二点要求的原因是，变换后的图像不能超过原先的灰度级数。
不难发现，其实直方图均衡化的过程并不一定满足条件1。所以该变换式不可逆的。
公式的离散化
设原图像灰度等级为0、1、2…L-1,离散化后的映射公式就是
s ( r ) s(r) s(r)=(L-1) ∑ i = 0 r p r ( i ) \sum\limits_{i=0}^rp_r(i) i=0∑rpr(i)
在利用上面的公式进行计算的时候，需要把计算的结果 s ( r ) s(r) s(r),近似为最近的整数。
1)计算输入图像的直方图；
2）进行直方图归一化，直方图的组距和为255；
3）计算直方图积分：
\qquad H ′ ( i ) H^{'}(i) H′(i)= $\sum_{0 $\leq $ j ≤ \leq ≤i } H ( j ) H(j) H(j)$
4）以 H ′ H^{'} H′作为查询表进行图像变换：
\qquad dst(x,y)= H ′ ( s r c ( x , y ) ) H^{'}(src(x,y)) H′(src(x,y))
简而言之，由equalizeHist()函数实现的灰度直方图均衡化算法，就是把直方图的每个灰度级进行归一化处理，求每种灰度的累积分布，得到一个映射的灰度映射表，然后根据相应的灰度值来修正原图中的每个像素。
原理详解：
假设输入图像为I，高为H、宽为W, h i s t I hist_I histI代表灰度直方图， h i s t I ( k ) hist_I(k) histI(k)代表灰度值等于k的像素点个数，其中k ϵ \epsilon ϵ[0,255]。全局直方图均衡化操作是对图像I进行改变，使得输出图像O的灰度直方图 h i s t O hist_O histO是"平“的，即每一个灰度级的像素点个数是”相等“的。注意，其实这里的”相等“不是严格意义上的等于，而是约等于，比如高为137、宽为255的图像矩阵不可能出现每一个灰度级的像素点个数是严格相等的，即 h i s t O ( k ) hist_O(k) histO(k) ≈ \approx ≈ H ∗ W 256 \frac{H*W}{256} 256H∗W,k ϵ \epsilon ϵ[0,255],那么对于任意的灰度级p,0 ≤ \leq ≤q ≤ \leq ≤ 255,总能找到q,0 ≤ \leq ≤q ≤ \leq ≤ 255,使得：
∑ k = 0 p h i s t I ( k ) \sum\limits_{k=0}^p{hist_I(k)} k=0∑phistI(k)= ∑ k = 0 q h i s t O ( k ) \sum\limits_{k=0}^q{hist_O(k)} k=0∑qhistO(k)
其中 ∑ k = 0 p h i s t I ( k ) \sum\limits_{k=0}^p{hist_I(k)} k=0∑phistI(k)和 ∑ k = 0 q h i s t O ( k ) \sum\limits_{k=0}^q{hist_O(k)} k=0∑qhistO(k)称为I和O的累加直方图。又因为 h i s t O ( k ) hist_O(k) histO(k) ≈ \approx ≈ H ∗ W 256 \frac{H*W}{256} 256H∗W,所以
∑ k = 0 p h i s t I ( k ) \sum\limits_{k=0}^p{hist_I(k)} k=0∑phistI(k) ≈ \approx ≈(q+1) H ∗ W 256 \frac{H*W}{256} 256H∗W
化简上式可得
q ≈ \approx ≈ ∑ k = 0 p h i s t I ( k ) H ∗ W \frac{\sum\limits_{k=0}^{p}{hist_I(k)}}{H*W} H∗Wk=0∑phistI(k)*256-1
上式给出了一个从亮度级为p的输入像素到亮度级为q的输出像素的映射，那么令
O(r,c) ≈ \approx ≈ ∑ k = 0 I ( r , c ) h i s t I ( k ) H ∗ W \frac{\sum\limits_{k=0}^{I(r,c)}{hist_I(k)}}{H*W} H∗Wk=0∑I(r,c)histI(k)*256-1
其中I(r,c)是I的第r行第c列的灰度值，O(r,c)是对应位置输出的灰度值，其中0 ≤ \leq ≤r C++实现
对于直方图均衡化的C++实现，通过定义函数equalHist依次按照四个步骤来实现，输入参数为8位的灰度图，代码如下Mat equalHist(Mat image)
{
CV_Assert(image.type()==CV_8UC1);
//灰度图像的高、宽
int rows = image.rows;
int cols = image.cols;
//第一步：计算图像的灰度直方图
Mat grayHist = calcGrayHist(image);
//第二步：计算累加灰度直方图
Mat zeroCumuMoment = Mat::zeros(Size(256,1),CV_32SC1);
for(int p =0;p<256;p++)
{
if(p==0)
zeroCumuMoment.at