微积分的总结

再学微积分

初入微积分:不定积分

定义:不定积分是求导运算和微分运算不完全的逆运算。也是一种非构造的运算。

1. 为什么是它是它的逆运算？
2. 为什么说是不完全的逆运算？
3. 为什么说它是非构造的运算？

$$\begin{gathered} F^{\prime }(x)=f(x) \\ dF(x)=f(x)dx \\ \int f(x)dx=F(x)+C \end{gathered}$$
所以,称它是它的逆运算。

$证明:为什么f(x)的原函数是且仅是F(x)+C?$
$假设f(x)的原函数不止一个,设F(x)是其中的特定的某一个。$
$G(x)代表其中的任意一个。则,根据原函数的定义,有:$
$F^{\prime }(x)=f(x),且G^{\prime }(x)=f(x),则有:h(x)=G^{\prime }(x)-F^{\prime }(x)=0。$
$所以,只要F(x)是f(x)的一个原函数,任意的一个原函数都可以被表示为:$
$F(x)+C,所以f(x)的原函数是且仅是F(x)+C$

假设不定积分和求导,微分在两个空间之间建立起了联系,那么,假设运算从求导,微分开始:
解空间$C1$对应的解空间$C2$所对应的解空间不是$C1$。实际上$C2$是$C1$的父集。
故称它们是一对不完全的逆运算。

任何一个特定的不定积分的求解空间$Y2$是所有不定积分的求解空间的合空间$Y1$的一个很小的子集。
所以说它是非构造的运算。

基本的不定积分公式

$$\begin{gathered} \int 0dx=C \\ \int 1dx=\int dx=x+C \\ \int x^{a}dx=\frac{1}{a+1}{x}^{a+1}+C(a\ne -1) \\ \int x^{-1}dx=ln|x|+C \\ \int a^{x}dx=\frac{a^x}{lna}+C \\ \int e^{x}dx=e^x+C \\ \int cosxdx=sinx+C \\ \int sinxdx=-cosx+C \\ \int se{c}^{2}xdx=tanx+C \\ \int cs{c}^{2}dx=-cotx+C \\ \int secxtanxdx=secx+C \\ \int cscxcotxdx=-cscx+C \\ \int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+C=-arccotx+C1 \\ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+C=-arccosx+C1 \end{gathered}$$

不定积分的四大法宝

1. 不定积分的线性运算法则

$$\begin{gathered} 若\int f(x)dx,\int g(x)dx均存在 \\ \forall \alpha ,\beta (不同时为零) \\ 则:\int [\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx \end{gathered}$$

例题1

$$\begin{gathered} 求\int ta{n}^{2}xdx \\ \int ta{n}^{2}xdx=\int (se{c}^{2}x-1)dx=\int se{c}^{2}xdx-\int dx \end{gathered}$$

例题2

$$\begin{gathered} 求\int \frac{1}{si{n}^{2}xco{s}^2} \\ \int \frac{1}{si{n}^{2}xco{s}^2}=\int \frac{si{n}^{2}x+co{s}^2}{si{n}^{2}xco{s}^2}=\int (se{c}^{2}x+cs{c}^{2}x)dx \end{gathered}$$

例题3

$$\begin{gathered} 求\int \frac{x^4}{x^2+1}dx \\ \int \frac{x^4}{x^2+1}dx=\int \frac{x^4-1+1}{x^2+1}dx=\int (x^2-1+\frac{1}{x^2+1})dx \end{gathered}$$

2. 不定积分的凑微分(第一换元法)

定义:在保持被积表达式的值不变时,于内部进行微分运算,以同时改变被积函数和积分变量,在整体上达到被积表达式形式的改变,以使其形式更加便于求解。

例题1

$$\begin{gathered} 求\int tanxdx \\ \int tanxdx=-\int \frac{1}{cosx}dcosx=-ln|cosx|+C \\ (\int cotxdx=ln|sinx|+C) \end{gathered}$$

记住一些微分关系式

$$\begin{gathered} a\ast dx=d(ax+b) \\ 2x\ast dx=d(x^2\pm a^2) \\ -2x\ast dx=d(a^2-x^2) \\ cosxdx=dsinx \\ sinxdx=-dcosx \\ \frac{1}{x}dx=d|lnx| \\ {e}^{x}dx=d{e}^x \end{gathered}$$

例题2

$$\begin{gathered} 求\int \frac{1}{a^2+x^2}dx(a\ne 0) \\ \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a^2}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a}{)}^2}dx=\frac{1}{a}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a}{)}^2}d(\frac{x}{a}) \\ =\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C \end{gathered}$$

例题3

$$\begin{gathered} 求\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx(a>0) \\ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\frac{1}{a}\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a}{)}^2}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a}{)}^2}}d(\frac{x}{a}) \\ =arcsin\frac{x}{a}+C \end{gathered}$$

例题4

$$\begin{gathered} 求\int \frac{1}{a^2-x^2}dx(a\ne 0) \\ \int \frac{1}{a^2-x^2}dx(a\ne 0)=\int \frac{1}{(a-x)(a+x)}dx=\frac{1}{2a}\int (\frac{1}{a-x}-\frac{1}{a+x})dx \\ =\frac{1}{2a}\int (\frac{1}{a-x}-\frac{1}{a+x})dx=\frac{1}{2a}[\int \frac{1}{a-x}dx-\int \frac{1}{a+x}dx] \\ =\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}|+C \end{gathered}$$

例题5

$$\begin{gathered} 求\int secxdx \\ \int secxdx=\int \frac{1}{1-sin{x}^2}dsinx \\ =ln|secx+tanx|+C \\ (\int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C) \end{gathered}$$

另解:

$$\begin{gathered} 求\int secxdx \\ \int secxdx=\int \frac{secx(secx+tanx)}{secx+tanx}dx=\int \frac{1}{secx+tanx}d(secx+tanx) \\ =ln|secx+tanx|+C \end{gathered}$$

例题6

$$\begin{gathered} 求\int e^{ax} \\ \int e^{ax}=\frac{1}{a}\int e^{ax}d(ax) \\ =\frac{1}{a}{e}^{ax}+C \\ (\int cosaxdx=\frac{1}{a}sinax+C) \\ (\int sinaxdx=-\frac{1}{a}cosax+C) \end{gathered}$$

3. 不定积分的变量代换(第二换元法)

定义:创建一个新的变元,并使其与x建立函数关系(这个函数被要求是可导并且严格单调的),而代替入被积表达式之中,以此使得被积表达式的形式发生变化,以使其形式更加便于求解

记忆一些常用的代换

1. $$\sqrt{a^2-x^2},令x=asint,t\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$
2. $$\sqrt{a^2+x^2},令x=atant,t\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$
3. $$\sqrt{x^2-a^2},令x=asect,t\in [0,\frac{\pi }{2}]\cup [\frac{\pi }{2},\pi ]$$
4. $$\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}},令\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t$$
5. $$\sqrt[n]{ax+b},令\sqrt[n]{ax+b}=t$$

例题1

$$\begin{gathered} 求\int \sqrt{a^2-x^2}dx \\ 令x=asint \\ \int \sqrt{a^2-x^2}=\int \sqrt{a^2-a^{2}si{n}^{2}t}acostdt=a^2\int |cost|costdt \\ =a^2\int co{s}^{2}tdt=\frac{a^2}{2}\int (1+cos2t)tdt=\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{4}sin2t+C \\ =\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+\frac{a^2}{2}sintcost+C \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 再根据上面的三角形法则, \\ =\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+\frac{a^2}{2}\ast \frac{x}{a}\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}+C=\frac{a^2}{2}\ast \frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+C \end{gathered}$$

例题2

$$\begin{gathered} 求\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx(a>0) \\ 令x=atant \\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\int \frac{ase{c}^2}{a^{2}ta{n}^{2}t+a^2}dt \\ =\int sectdt=ln|sect+tant|+C \\ 再次运用三角形法则。此处省略。 \\ =ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C \\ (同理:\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C)(涉及到绝对值问题) \end{gathered}$$

例题3

$$\begin{gathered} 求\int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}dx \\ 令\sqrt[6]{x}=t \\ \int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}dx=\int \frac{6t^5}{t^3+t^2}dt=6\int \frac{t^3+1-1}{t+1}dt \\ =6\int (t^2-t+1+\frac{1}{t+1})dx=6(\frac{1}{3}{t}^3-\frac{1}{2}{t}^2-ln(1+t))+C=... \end{gathered}$$

例题4

$$\begin{gathered} 求\int \frac{x^2}{(2x+1{)}^{10}}dx \\ 令(2x+1)=t \\ \int \frac{x^2}{(2x+1{)}^{10}}dx=\frac{1}{8}\int \frac{t^2-2t+1}{t^{1}0}=... \end{gathered}$$

3. 分部积分

定义:将被积函数分为相乘的两个部分,$C1(x)$和$C2(x)$。对其中容易求导的一个求导,容易求原函数的求原函数,设其分别为$L1(x)$和$L2(x)$。将被积函数化为$g(x)=L1(x)\times L2(x)dx$,有$\int f(x)dx+\int g(x)dx=C1(x)\times L2(x)dx$,编成一句口诀就是:“求原的真的求原了,求导的并不是真的求导”。

$$原理:\int udv=uv-\int vdu$$

证明:
$$\begin{gathered} (uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime } \\ \int (uv{)}^{\prime }dx=\int u^{\prime }vdx+\int u{v}^{\prime }dx \\ uv=\int vdu+\int udv \\ (也可以使用微分证明) \end{gathered}$$

例题1

$$\begin{gathered} 求\int x{e}^{x}dx \\ \int x{e}^{x}dx+\int e^{x}dx=x{e}^x \\ \int x{e}^{x}dx=x{e}^x-e^x+C \end{gathered}$$

记忆一些常见的分步积分情况

1. $L1(x)=P_k(x),L2(x)=e^{ax}(需要k次不定积分)$
2. $L1(x)=P_k(x),L2(x)=cosax(需要k次不定积分)$
3. $L1(x)=P_k(x),L2(x)=sinax(需要k次不定积分)$
4. $L1(x)=h(arc...x),L2(x)=P(x)(能凑出darc...x则先凑)$
5. $L1(x)=h(lnx),L2(x)=P(x)(能凑出dlnx则先凑)$

例题2

$$\begin{gathered} 求\int (1+x^2)cos2xdx \\ \int (1+x^2)cos2xdx+\int (2x)(\frac{sin2x}{2})=(1+x^2)(\frac{sin2x}{2}) \\ \int xsinx+\int 1\ast (-cosx)=x(-cosx) \end{gathered}$$

例题3

$$\begin{gathered} 求\int \frac{arctanx}{1+x^2}dx \\ \int \frac{arctanx}{1+x^2}dx=\int arctanxdarctanx \\ =\frac{1}{2}(arctanx{)}^2+C \end{gathered}$$

例题4

$$\begin{gathered} 求\int arctanxdx \\ \int arctanxdx+\int x(\frac{1}{1+x^2})=xarctanx \\ \int arctanxdx=xarctanx-\frac{1}{2}ln(1+x^2)+C \end{gathered}$$

例题

$$\begin{gathered} 求\int \frac{arctanx}{x^2(1+x^2)}dx \\ \int \frac{arctanx}{x^2(1+x^2)dx}=\int (\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2})arctanxdx \\ =\int (\frac{1}{x^2})arctanxdx-\int \frac{arctanx}{1+x^2}dx \\ \{\begin{array}{l}\int (\frac{1}{x^2})arctanxdx+\int (-\frac{1}{x})(\frac{1}{1+x^2})=(-\frac{1}{x})arctanx\\ \int \frac{arctanx}{1+x^2}dx=\int arctanxdarctanx\end{array} \\ 且又有:\int (\frac{1}{x})(\frac{1}{1+x^2})dx=\int (\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2})dx \\ \int \frac{arctanx}{x^2(1+x^2)}dx=... \end{gathered}$$