鸽笼原理 小讲 【 理解 + 例题 】 更新 ing ...

    桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1或n+(n-1)个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。为小学六年级课程。(摘自百度百科，看到最后一句话， 我哭了、、、)

    原理 && 证明  ：

    1. 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

    2. 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。

    3. 把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。

    4. 把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体(例如，将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2)。

    其证明均可以用反证法完成，较为简单、、、

 

    应用 ：

    整除问题， 面积问题， 染色问题， 还有最简单的隔板（先这么称呼吧、）

    例题 ：

    1. hdu  1205   吃糖果   链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1205

    该题是一个简单的隔板问题，思路都直接复制了 ，我讲不出来  - . - #

1.把某种糖果看做隔板,如果某种糖果有n个,那么就有n+1块区域,至少需要n-1块其他种糖果才能使得所有隔板不挨在一块..也就是说能吃完这种糖果.至少需要其他种类糖果n-1块..(鸽巢原理)

2.数量最多的糖果(隔板)可以构造最多的空间,如果这种糖果有maxn个....那么需要maxn-1个其他种糖果.对于某种数量少于maxn的糖果来说,可以在原本数量最多的糖果构造的隔板上"加厚"原有的隔板...,那么这"某种糖果"就销声匿迹了.....

考虑极端情况.如果某种糖果无法在这maxn+1的空间内构造出符合条件的序列,那么这种糖果至少要有maxn+1+1个(考虑只有两种糖果的情况)...(鸽巢原理)...但是这与数量最多的那种糖果只有maxn个矛盾.....(maxn+1+1>maxn 这不等式不难理解吧....).

  

#include 
#include 
using namespace std;

#define LL __int64
int n, t;

int main()
{
    while(~scanf("%d",&t))
    {
        while(t --)
        {
            LL sum = 0;
            int maxn = -1;
            int a;
            scanf("%d",&n);
            for(int i = 0; i < n; i ++)
            {
                scanf("%d",&a);
                maxn = max(maxn, a);
                sum += a;
            }
            if(sum - maxn + 1 >= maxn)  //  本题的重点，请用心思考、、
                printf("Yes\n");
            else
                printf("No\n");
        }
    }
}

    2.    hdu  1029  Ignatius and the Princess IV  链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1029

      课程设计无聊到爆，就是复制粘贴呀，于是我就开始刷刷水题，因为本身的水平也就这样。

     该题就是给你n 个数， 问你这n 个数中，重复次数超过（n + 1）/2 的数，很难想象这题会和这个算法联系起来，我的第一个想法就是遍历，因为他说是水题，不过两者的时间差不多，用该算法是235ms， 遍历是250ms