基于模拟退火的随机性算法的应用&广义费马点丨BZOJ3680
模拟退火
总的来说只需要知道它是一种启发式搜索算法，并且能以很大概率获得全局最优解。
我们来简单说一下这个算法：在铁匠打铁时，需要将铁加热至高温，将铁水加至容器后，降温至室温，铁原子便会排列有序，形成一个铁具。降温的过程叫做退火过程，这个物理过程 中能量是从功能量变为低能量的。
而科学家们发现，若在当前温度T下，能量为E(0)，在降温单位时间后，能量 E ( 1 ) E(1) E(1)并不一定比 E ( 0 ) E(0) E(0)小， E ( 1 ) = x E(1)=x E(1)=x这种情况能被接受的概率取决于：
满足以下公式：
\begin{cases}
x
\end{cases}
看不懂没关系，只需要知道以下结论：
- 可以证明的是，当T趋于无穷大时，最终状态达到全局最小值的概率趋于1。
- 根据公式第二部分很容易看出来，当 x > E ( 0 ) x>E(0) x>E(0)时，仍有概率到达x点。（即达到极小值点后仍有概率跳出极小值，这为得到全局最小值提供了可能，这一点很重要。）
- 在高温情况下（即T较大时），达到高能量状态的概率更大，当温度越来越低时，达到高能量状态的概率将变低。
- 能量的变化量应与温度T有关，很容易理解，当温度降低后发生的能量变化也应该变小。
算法的应用
看了上面关于模型的介绍，你可能还不懂这个算法到达有什么用。我们来简单阐述一下它的应用。当求非线性规划问题的全局最小值时，我们可以使用模拟退火算法进行求解。求解的过程为以下四步：
- 首先任意给一个初始可行解，同时设置一个较大的参数值（相当于模型中的kT）。
- 随机的给出当前点附近的一些可行点（即能量发生变化），它的寻找范围与kT有关。
- 计算可行点对应的值，根据模拟退火模型，比较该点的值与当前值的大小，并通过概率公式判断是否达到该点。
- 不断循环直到达到精度要求。
则最终到达的点有一定概率在最优解附近，再通过贪心的方法即可找到全局最优解。所以这是一个随机算法。
例题
题目来源：BZOJ 3680
题目描述
gty又虐了一场比赛，被虐的蒟蒻们决定吊打gty。gty见大势不好机智的分出了n个分身，但还是被人多势众的蒟蒻抓住了。蒟蒻们将n个gty吊在n根绳子上，每根绳子穿过天台的一个洞。这n根绳子有一个公共的绳结x。吊好gty后蒟蒻们发现由于每个gty重力不同，绳结x在移动。蒟蒻wangxz脑洞大开的决定计算出x最后停留处的坐标，由于他太弱了决定向你求助。
不计摩擦，不计能量损失，由于gty足够矮所以不会掉到地上。
输入数据
输入第一行为一个正整数n(1<=n<=10000)，表示gty的数目。
接下来n行,每行三个整数xi，yi，wi，表示第i个gty的横坐标，纵坐标和重力。
对于20%的数据，gty排列成一条直线。
对于50%的数据，1<=n<=1000。
对于100%的数据，1<=n<=10000,-100000<=xi,yi<=100000
输出数据
输出1行两个浮点数（保留到小数点后3位），表示最终x的横、纵坐标。
样例输入
3
0 0 1
0 2 1
1 1 1
样例输出
0.577 1.000
题目解析
本题用到了数学知识：广义费马点。
简单的说一下道理：因为重物悬挂的位置有尽可能下降的趋势，所以最终稳定的点应为重力势能和的最小点，同时由于绳子长度一定，则重力势能最小对应下拉绳子长度最长，对应剩余绳长最短，即求到所有点的加权距离和最短的点，其中权值为重力。即求广义费马点。
代码
#include
using namespace std;
const int maxn = 1e4+5;
int n;
double x[maxn],y[maxn],w[maxn];
double xs=0,ys=0,dis;
double pow2(double x){return x*x;}
double d(double x1,double y1,double x2,double y2){
return sqrt(pow2(x1-x2)+pow2(y1-y2));
}
double calc(double nx,double ny){
double res=0;
for(int i=0;i0.001){
nextx=nowx+T*(Rand()*2-1);
nexty=nowy+T*(Rand()*2-1);
dE=calc(nowx,nowy)-calc(nextx,nexty);
if(dE>0 || exp(dE/T)>Rand())
nowx=nextx,nowy=nexty;
T*=0.97;
}
//在结束退火后找到极小值点
for(int i=0;i<1000;i++){
nextx=xs+T*(Rand()*2-1);
nexty=ys+T*(Rand()*2-1);
calc(nextx,nexty);
}
}
int main(){
srand(1594894);
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i 参考资料
费马点：http://www.matrix67.com/blog/archives/422?replytocom=922225#respond
模拟退火算法：https://zhuanlan.zhihu.com/p/21277465