证明：矩阵 AB 与 BA 具有相同的特征值

矩阵 AB 与 BA 具有相同的特征值

可以从两个方面证明该定理，第一种，借助相似矩阵拥有相同特征值的结论进行（要求 $A,B$ 是可逆的）；第二种，则从公式 $ABx=\lambda x$ 着手。

先讲第一种。假设 $A,B$ 是可逆的。我们知道矩阵 $A$ 相似于矩阵 $P^{-1}AP$，其中 $P$ 为任意的可逆矩阵。所以也存在任意一个可逆矩阵 $M$ 使得 $AB$ 相似于 $M^{-1}ABM$，当我们令 $M=A$ 时有 $M^{-1}ABM=BA$，即 $AB$ 相似于 $BA$，进而得证 $AB$ 与 $BA$ 具有相同的特征值。

第二种，并不要求 $A,B$ 是可逆的。给定 $AB$ 的特征值和特征向量 $\lambda ,x$，使得 $ABx=\lambda x$，式子两端左乘一个 $B$，得：
$$BABx=\lambda Bx\text{\hspace{1em}(1)}$$
当 $\lambda \ne 0$ 时，根据式$(1)$，可知 $\lambda$ 也是 $BA$ 的特征值，这时 $BA$ 的特征向量是 $Bx$.

当 $\lambda =0$ 时，$ABx=0$，说明 $AB$ 非满秩，即 $\text{det}(AB)=0$，又因为 $\text{det}(BA)=\text{det}(AB)$ ，所以 $BA$ 也非满秩，$\lambda =0$ 也是 $BA$ 的特征值。

综上，得证矩阵 $AB$ 与 $BA$ 具有相同的特征值。

参考源

• Lecture 4: Eigenvalues and Eigenvectors（Matrix Methods in Data Analysis, Signal Processing, and Machine Learning）by Prof. Gilbert Strang.