傅里叶变换究竟是什么玩意 以及 这些公式究竟是怎么来的 第六章 非周期信号的傅里叶变换

    之前，我们已经了解到了周期信号可以分解为许多正弦信号（或者说，复指数信号）。只要给一个具体的x(t)周期信号在一个周期上的时域表示，我们就能求出来它在频域上的表示。

    但是问题又来了：如果信号是非周期的呢？

    假设我们现在的信号是这个样子：

    

    像这种在时域上是非周期的信号，我们就做如此假设：假设其周期是无穷大，即从负无穷到正无穷。

    借用上一章的式子，我们把一个周期积分的区间改为从-T到T：

    

     然后设周期变为无穷大，即：

     

     但是想必大家已经看出来了一个问题：T是无穷大的，也就是说除非x(t)本身也是指数级或者变化率更快的函数，否则这样积分以后永远是0，这就很让人不爽了，如果都是0，难道说非周期信号在频域上各个频率都是0不成？

     不是这样的，因为我们知道，非周期信号只是所谓的周期无穷大了而已，我们做一个小的变换：把等式两边同时乘T：

    

    所以现在有意思的要来了，我们知道在周期信号中，T代表一个最小的周期，则是对应最小周期的频率，也就是，而当T是无穷大的时候，不就是无穷小了嘛？所以我们需要重新调整一下：之前分解的信号的所有频率可以表示为  来表示，这里的k是整数。而当无穷小的时候，我们就可以理解为，这个频率可以取到任何值！再更具体一点，假设周期信号中，则这个信号在频域中可以求其频率在1，2，3，4……上面的幅值，但是现在，无穷小了，也就是说，频率仍然可以取，但是这个  可以取遍所有实数：可以是1.23456，可以是0.000000001，也可以是12345，那么，也就是说，可以取遍实数空间，再进一步说， 不再是离散的值了，它是连续的值！

    假设我们想取这个非周期信号在频率为11.111处的幅值，我们只需要把代入  就好了！而且这个值求出来是一定存在的，谁让非周期信号的是无穷小呢~

     但是我们还是要思考一点，既然右边的式子里  可以取任何实数值，不就相当于这个值是连续的吗？那我们为什么不用一个连续变量代替  呢？所以，我们让  , 左边也换一下，既然是求的是频率在任意  处的幅值，左边直接写成 不就好了吗？

    现在式子变成了：

       ，是不是觉得这样表示非常简洁？它的意义是，知道了非周期信号x(t)的时域表示以后，我们就能求它在任意频率信号的幅值。

    但是书本上并没有写作，而是写为 , 即：

      ,  我也不太理解为什么一定要前面加个 j , 问了一些搞信号的专家，他们也都不明所以，只是好像加上以后公式更好看了呢~ 

    最后，这就是非周期信号的傅里叶变换表示形式。我们再做一些公式上的推导，得到如下的公式：

      

    这就是说通过傅里叶变换后的频域表示我们也可以得到原始信号。与此，周期与非周期信号的傅里叶变换的解释就都结束了！当然，信号是有离散的，也有连续的，至于离散的信号怎么处理，这里就不再做解释了。

   现在我们就明白了，一个信号的时域表示，我们乘以 然后再进行积分，就可以得到它的频域上的表示，这就是这个公式的意义！