Java 数据结构与算法之动态规划

序

《Dynamic Programming》中的“Programming”不是编程的意思，而是指一种表格处理法，DP把每一步得到的子问题结果存储在表格里，每次遇到该子问题时不需要再求解一遍，只需要查询表格即可。

一、概念

动态规划算法是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。
动态规划算法的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。

贪心算法：上一篇数据结构与算法之贪心博客

二、思想

动态规划具有两个性质：

• 重叠子问题
• 最优子结构

贪心算法：

• 贪心选择性质
• 最优子结构

最优子结构性质是指问题的最优解包含其子问题的最优解时，就称该问题具有最优子结构性质，重叠子问题指的是子问题可能被多次用到，多次计算，动态规划就是为了消除其重叠子问题而设计的。其实贪心算法是一种特殊的动态规划，由于其具有贪心选择性质，保证了子问题只会被计算一次，不会被多次计算，因此贪心算法其实是最简单的动态规划。

动态规划大体分为四步：

1. 分析最优解的结构特征（是否具备重叠子问题，最优子结构特征，一定要弄懂dp数组的含义）
2. 建立最优值得递归式（寻找状态转移方程，利用历史记录，更新当前）
3. 自底向上计算最优值（定义边界值）
4. 构造最优解（返回最优解）

三、应用示例

1、Climbing Stairs

问题：青蛙跳台阶，一次只能跳一步或两步，有多少种方法跳到N台阶

分析：

• dp[n]表示第N-1台阶的最优解
• 状态转移 dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]   
• 边界 dp[0]=1,dp[1]=2   
• 返回dp[n-1]

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n <= 2) {
            return n;
        }
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 2;
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n - 1];
    }
}

2、Unique Paths

问题：机器人走路，从左上角只能走右或下，走到右下角一共几种走法

分析：

• dp[i][j]表示左上角走到右下角的最优解   
• 状态转移 dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]   
• 边界 dp[0][i]=1,dp[1][0]=1   
• 返回dp[m-1][n-1]

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[0][i] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1]; 
    }
}

3、Edit Distance

问题：两个字符串的编辑举例，可以插入，删除，替换字符串

分析：

• dp[i][j]表示字符串长度i到字符串长度j的编辑举例   
• 状态转移 dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1, dp[i - 1][j - 1] + temp); i==j时 temp=0，不等时temp=1   
• 边界 dp[0][i]=i dp[i][0]=i 
• 返回dp[m][n]

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int[][] dp = new int[word1.length() + 1][word2.length() + 1];
        for (int i = 0; i <= word1.length(); i++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for (int i = 0; i <= word2.length(); i++) {
            dp[0][i] = i;
        }
        for (int i = 1; i <= word1.length(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.length(); j++) {
                int temp = 1;
                if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
                    temp = 0;
                }
                dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1, dp[i - 1][j - 1] + temp);
            }
        }
        return dp[word1.length()][word2.length()];
    }
}

4、Longest Common Subsequence

问题：最长子公共序列，两个子序列可以不连续 s1="abcde" s2="ace" 公共是s="ace"  

分析：

• dp[i][j]表示字符串长度i到字符串长度j的公共子序列   
• 状态转移i==j时dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1  不等时dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])   
• 边界 dp[0][i]=0 dp[i][0]=0
• 返回dp[m][n]

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1];
        for (int i = 0; i <= text1.length(); i++) {
            dp[i][0] = 0;
        }
        for (int i = 0; i <= text2.length(); i++) {
            dp[0][i] = 0;
        }
        for (int i = 1; i <= text1.length(); i++) {
            for (int j = 1; j <= text2.length(); j++) {
                if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.length()][text2.length()];
    }
}

5、Maximum Length of Repeated Subarray

 

问题：最长子串，两个子串必须是连续 arr[1]={1,2,3,2,1} arr2={3,2,1,4,7} 公共是sub={3,2,1}

分析：

• dp[i][j]表示字符串长度i到字符串长度j的公共子序列   
• 状态转移i==j时dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 
• 边界 dp[0][i]=0 dp[i][0]=0
• 返回 res=Math.max(res,dp[m][n])

class Solution {
    public int findLength(int[] A, int[] B) {
        int[][] dp=new int[A.length+1][B.length+1];
        for (int i=0;i<=A.length;i++){
            dp[i][0]=0;
        }
        for (int j=0;j<=B.length;j++){
            dp[0][j]=0;
        }
        int res=0;
        for (int m=1;m<=A.length;m++){
            for (int n=1;n<=B.length;n++){
                if (A[m-1]==B[n-1]){
                    dp[m][n]=dp[m-1][n-1]+1;
                    res=Math.max(res,dp[m][n]);
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

还有很多经典例子，不断更新中