图的最小支撑树

• 连通性：若无向图的边有权值，则成该无向图为无向网；若无向网中每个顶点都相通，称为连通网。

• 支撑树：连通图G的某一无环连通子图T若能覆盖G中所有顶点，则称T为G的一棵支撑树或生成树。

• 最小支撑树：若图G为一带权网络，则每一棵支撑树的成本为其所拥有的各边的权重的总和。在G的所有支撑树中，成本最低的称为最小支撑树。

一、普利姆算法

  在图$G=(V,E)$中，顶点集$V$的任一子集$U$及其补集$V-U$都构成$G$的一个割，记作$(U:V$-$U)$。若边$u$、$v$满足$u\in U$且$v\notin U$，则称作该割的一条跨越边。跨越边连接$V$与$V$的补集，故可将其形象地看作该割的一座桥。而Prim算法基于以下事实：最小支撑树总是会采用联结每一割的最短跨越边。

先假设$G=(V,E)$是连通网， $TE$为$G$上最小生成树中边的集合：

1. $U=u_0,(u_0\in V),TE=\{\}$
2. 在所有的$u\in U,v\in V-U$的边$(u,v)\in E$中找一条代价最小的边$(u,v_0)$并入集合$TE$，同时$v_0$并入$U$。
3. 重复2，直到$U=V$

实现：(基于矩阵的无向带权网络)

void minspantree_prim(int v){	//v为生成树的起始点
	int k,j,i;
	int low=10000;
	struct{
		int adj;				//指示是由哪个顶点到该顶点
		int lowcost;			//存储最小权值
	}closedge[MAXVERTEXNUM];	//用数组存储到各顶点的最小路径权值，使用数组下标指示到某顶点

	k=v;						//先使用v，先求由v到其他各顶点的最短路径

	closedge[v].lowcost=0;
	for(j=0;j<VertexNum;j++){		//初始化，将数组中的元素表示为由k到各顶点的路径权值
		if(j!=k){
			closedge[j].adj=k;
			if(AdjMatrix[k][j]==0)	
				closedge[j].lowcost=10000;
			else
				closedge[j].lowcost=AdjMatrix[k][j];
		}
		}
	for(i=1;i<VertexNum;i++){
		low=10000;
		for(j=0;j<VertexNum;j++){			//找出当前点集数组所有路径的最小权值路径
			if(low>closedge[j].lowcost && closedge[j].lowcost!=0)
			{	
				low=closedge[j].lowcost;	
				k=j;
			}
		cout<<closedge[k].adj<<" "<<k<<" "<<closedge[k].lowcost<<endl;
	
		closedge[k].lowcost=0;				//使用lowcost=0表示该点已访问过
	
		for(j=0;j<VertexNum;j++)			//使用上一步骤中找到的顶点来更新点集最短权值路径
		{
			if(closedge[j].lowcost>AdjMatrix[k][j] && AdjMatrix[k][j]!=0 && k!=j)
			{
				closedge[j].adj=k;
				closedge[j].lowcost=AdjMatrix[k][j];
			}
	}

}
}
}

 以上代码的关键为定义结构：

struct Arc{
	int adj;
	int lowcost;
}

 再定义结构数组：

Arc closedge[MAXVERTEXNUM];

 以closedge[i].adj的方式存储由adj指向i的路径权值。

 

二、克鲁斯卡尔算法

  不断地从图中选取最小权重且不会使树含有环的路径，生成搜索树，直到图中所有顶点都在搜索树上。

实现细节： 使用数组标识当前加入搜索树的两个点是否属于同一阵营，若是，则该路径加入搜索树会产生环。

算法实现：

void Krus(){
    int *group=new int[VertexNum];		//使用数组标识阵营信息
    for(int i=0;i<VertexNum;i++){
        group[i]=i;
    }
     
     
    int matrix[MAXVERTEXNUM][MAXVERTEXNUM];		//创建临时的矩阵，后续的操作会对矩阵进行修改
     
    for(int i=0;i<VertexNum;i++){
        for(int j=0;j<VertexNum;j++){
            matrix[i][j]==AdjMatrix[i][j];
        }
    }
     
    for(int i=0;i<VertexNum-1;i++){
        int from=-1,to=-1;
        shortest(from,to,group);          //找出当前权重最小的边
        cout<<Vertex[from]<<" "<<Vertex[to]<<" "<<AdjMatrix[from][to]<<endl;	//起点 终点 权重
        matrix[from][to]=2*INFINITY;		//将已加入搜索树的路径权值设为无穷大，已防止被再次访问
        matrix[to][from]=2*INFINITY;			
     
        for(int x=0;x<VertexNum;x++){		//将所有from同阵营的顶点加到与to同阵营
            if(group[x]==group[from] && x!=from)
                group[x]=group[to];	
        }
        set[from]=set[to];      
    }
      
}