【竞赛02-a】【题解】第十二届电工杯全国大学生数学建模大赛B题

赛题：
[第十二届电工杯全国大学生数学建模大赛B题]

露天停车场停车位优化设计问题的研究

摘要

本文针对露天停车场停车位优化问题，考虑不同类型停车场中，在确保车辆进出自由的情况下，综合考虑停车场地、消防等各方面限制因素，以提高停车场空间利用率，使停车场获得较大停车能力为目标，建立停车场车辆停放优化模型，得到停车场设计方案及平面示意图，并检验了模型的实用性和算法的有效性。

• 对于问题一，在规定车辆出入口的情况下，对无障碍物停车场中汽车停放方式及位置进行规划。对汽车的停放角度进行假设，利用几何关系将其余量表示为和停放角度有关的函数关系式。以停车场停放车辆总数为目标函数，以停放角度、通道数及车辆停放排数等为约束条件，进行非线性整数规划，建立停车场车辆停放优化模型，并利用LINGO进行求解。对采用垂直式和斜列式两种不同停车方式，该停车场所对应的空间利用率及车辆容纳量进行比对，结合实际情况中对停车场车位设计的限制因素，进行局部调整优化，最终得到最优停车场设计方案为：该停车场共停车3排，第一二排为垂直式停车，每排停车总数为31辆；通道数两条，通道宽度5.5m。第三排为斜列式停车，倾角为29°，每排14辆，停车总数为76辆。
• 对于问题二，在规定车辆出入口的情况下，对大型商场周边停车场进行车辆停放规划。经过前期分析及资料查阅，归纳该停车场的特点与限制条件。在保证车辆自由进出及停车场车辆停放容纳量最大的前提下，综合考虑消防设施安置位置、预留消防通道等现实因素。对停车场用车道中心线进行区域以最小单元格分割法为原则进行划分，将消防设施视作障碍物，把停车场划分为四个区域。针对每一区域建立停车场车辆停放优化模型，考虑其余消防限制因素进行不断调整优化，最终规划停车场总停车数量为791辆，并输出停车场设计方案与平面设计图。
• 对于问题三，由于该停车场为出入口并未限定，基于问题二的模型与结果，建立基于二维元胞自动机理论的车辆移动仿真模型，以此来确定出入口的最优位置。将移动的元胞代表一个车辆，采用摩尔型邻居形式，模拟多出口停车场车辆进行出入的过程。通过设置不同出口位置，比较所有车辆的平均离开时间，最终得到最佳的出口位置为：停车场下方边界的左右两侧；入口位置为：停车场上下边界的中点处。以此能保证在停车位数量尽可能多的前提下，提高车辆移动的效率。

关键词：整数规划 停车场车辆停放优化模型 最小单元分割法 二维元胞自动机理论

1 问题1：停车场停放车辆的优化问题

对于问题一，我们的思路很简单，就是建立一个车辆的倒车的模型，使得在车辆倒车不碰撞的情况下，每一排能够有尽可能多的车辆。

step1：建立车辆倒车模型：

根据题意，家用小轿车的转弯半径为5.5m,垂直停放时所需长度为5.5m，宽度为2.5m。当停车场长度为A，宽度为B时，设车辆以α角度进入停车位，该车位长度为L，宽度为W，末端距离为d。（1）如图所示，此时可求得通道宽度为：[1]
$$R=5.5-2.4cos\alpha$$

当车辆以角α停放时，如图所示，分别可以求得L、W、d关于α的几何关系式：
$$\begin{gathered} W=2.5/sin\alpha \\ L=5.5sin\alpha +2.5cos\alpha \\ d=5.5cos\alpha +2.5cot\alpha cos\alpha \end{gathered}$$
设停车场中的通道数量为n，停车排数为m，每排车总数为x_i (i=1,2…m)，则停车场中车辆总数N为:

由此，我们的目标函数就确定了：
$$Object:maxN$$

约束条件：由于m排所有车位长度与通道宽度之和不应超过该停车场宽度，则
$$B=nR+mL$$

---

step2:Lingo 求解代码如下：

问题1
model:
m=2*n;
n>0;!通道个数;
m>0;!停车位排数;

r=5.5-2.4*@cos(a);!通道宽度;
l=5.5*@sin(a)+2.5*@cos(a);!单个车位长度;
ld=5*@cos(a)-2.2*@cos(a)*@cos(a)/@sin(a);
n*r+m*l=26.5;!总宽度等于26.5;
@gin(n);!对通道排数进行整数约束;
x=(79-5.5*@cos(a)-(2.5*@cos(a)*@cos(a))/@sin(a))*@sin(a)/1.25;!每一停车排的车辆数;
max=x*m;
End

---

求解的结果为混合式停放方式（斜列+垂直结合）结果会较好，停放的数量较多,约能停放76辆：

---

问题2：考虑消防和出入口位置的设计

对于问题2，本博文不做详细的解释，主要的思想步骤是：

• step1：查阅停车场消防相关国家标准：如车辆之间的距离，消防通道的距离，回车场的位置以及占地面积等。
• step2：根据相关标准，对题给的地图进行区域的划分，在保证标准的情况下，尽可能的划出完整的区域。如图所示：

• step3：在每一个区域内，根据问题一所建立的模型,对区域进行车辆拜访的求解。另外注意各个区域之间的连通问题即可。【2】【3】

---

问题二程序实例：

停车区域Ⅰ
model:
m=2*n;
n>0;!通道个数;
m>0;!停车位排数;

r=5.5-2.4*@cos(a);!通道宽度;
l=5.5*@sin(a)+2.5*@cos(a);!单个车位长度;
ld=5*@cos(a)-2.2*@cos(a)*@cos(a)/@sin(a);
n*r+m*l=249;!总宽度等于249;
@gin(n);!对通道排数进行整数约束;
x=((43-15.5)-ld)/(2.5/@sin(a));!每一停车排的车辆数;
max=x*n;

end

---

问题三：

问题三主要难以理解的核心就是元胞自动机的概念，这部分的概念我想开一篇新的博文来介绍。作为一个独立的模块。
【竞赛02-b】元胞自动机

参考文献

[1] 宋作忠, 何文章. 基于遗传算法的交易中心停车场优化设计[J]. 数学的实践与认识, 2004, 34(1):19-23.
[2] 高新涛, 陈丽. 基于优化模型的停车场规划设计分析[J]. 河南科技, 2015(18):68-71.
[3] 徐涵喆，陈华，蔡艳超，刘晓．基于贪婪算法的地下停车场车位布局设计 [J/OL]．工业工程与管理.