数据结构笔记-栈的应用-表达式转换问题

关键字：表达式、中缀、前缀、后缀、波兰、逆波兰

概述

在数据结构中，栈有一个常见的应用就是计算机中表达式的计算。

基础知识

中缀表达式（我们常用的写法，通常运算符在中间）、前缀表达式（波兰表达式，通常运算符在前面）、后缀表达式（逆波兰表达式，通常运算符在后面）

掌握的算法

需要掌握的是：中缀→后缀、中缀→前缀、前缀→中缀、后缀→前缀，其中前缀和后缀转换为中缀即为计算机求值的过程。

中缀转换算法总结

比较

基本算法一致，加粗字体为需要注意的不同点。

中缀→前缀	中缀→后缀
1.从右到左扫描。	1.从左到右扫描。
2.设置两个空栈，一个为对象栈S1，一个为运算符栈S2（存放运算符）。	2.设置两个空栈，一个为对象栈S1，一个为运算符栈S2（存放运算符）。
3.扫描过程遇到数或者运算符：	3.扫描过程遇到数或者运算符：
（1）遇到数直接压入S1。	（1）遇到数直接压入S1。
（2）扫描遇到运算符时：若S2为空或者S2栈顶为右括号)，扫描到的运算符直接压入S2；若扫描到的运算符优先级高于等于S2栈顶运算符，扫描到的运算符直接压入S2，否则（小于时）从S2弹出元素压入S1。直到将扫描到的运算符压入S2，（2）步骤结束。	（2）扫描遇到运算符时：若S2为空或者S2栈顶为左括号(，扫描到的运算符直接压入S2；若扫描到的运算符优先级高于S2栈顶运算符，扫描到的运算符直接压入S2，否则（小于等于时）从S2弹出元素压入S1。直到将扫描到的运算符压入S2，（2）步骤结束。
4.扫描过程遇到括号：	4.扫描过程遇到括号：
（1）遇到右括号)，直接压入S2。	（1）遇到左括号(，直接压入S2。
（2）遇到左括号(，依次弹出S2元素并压入S1，直到S2栈顶为右括号)，然后丢弃这一对括号。	（2）遇到右括号)，依次弹出S2元素并压入S1，直到S2栈顶为左括号(，然后丢弃这一对括号。
5.重复3、4步骤直到扫描完毕。	5.重复3、4步骤直到扫描完毕。
6.依次弹出S2元素并压入S1。	6.依次弹出S2元素并压入S1。
7.弹出S1所有元素，输出序列即为转换的前缀表达式。	7.弹出S1所有元素，输出序列的逆序即为转换的后缀表达式。

不同点

1. 扫描方向：前缀为右→左，后缀为左→右。
2. 扫描中运算符比较：前缀扫描的运算符优先级大于等于S2栈顶运算符即可，后缀只能够大于。
3. 扫描中括号判断：前缀为右括号)，后缀为左括号(。这里很容易理解，从扫描方向来直观感受，前缀首先遇到的就是右括号)，后缀首先遇到的就是左括号(。
4. 栈输出序列与最终的表达式的关系：前缀相同，后缀为逆序。

计算机求值算法总结

算法

通过一个栈进行运算，遇到运算符就弹出栈顶元素和次顶元素计算。

不同点

运算对象的顺序：前缀为栈顶元素+运算符+次顶元素，后缀为次顶元素+运算符+栈顶元素。
记忆方法：前缀为栈顶元素在前，后缀为栈顶元素在后。

参考资料

• 前缀、中缀、后缀表达式(逆波兰表达式)