这周的知识点
了解以下数据结构的实现, time and space constraint
array implementation of a list
singly and doubly linked list
doubly linked list Stack and Queue
adv singly linked list stack and queue
python里的run time和function call测试方法
Tutorial
Q3 : Given a singly linked list, traverse the elements of the list in reverse order.
- Design an algorithm that uses O(1) extra space.
首先我们需要了解题意, 是否真的要把linked list反过来.
比如 1->2->3 经过处理后变成 3->2->1.
如果只能使用O(1)的空间, 那么我们除了已经给的list的空间没有更多的地方来存储信息, 那么免不了对原本linkedlist的改动, 也就是
改变node之间next的指向.
O(1)的方法 有iterative和recursive两种解法, 推荐了解iterasive的写法.
在这之前, 先写一个helper function print_linkedlist(head)来帮忙检验. 我们默认print_linkedlist是时间O(n)空间O(1)的.
def print_linkedlist(head):
node = head
while(node):
print(node.value) #traversed
node = node.next
Iterasive method
def reverseList(head):
current = head
prev = None
while(current):
curr_next = current.next #先存next, 下一步要走的点
current.next = prev # **改变当前点的next位置. 反转的一步!**
prev = current #更新prev称为当前点.
current = curr_next #更新当前点为next, 下一步要走的点.
#理解视频: https://www.youtube.com/watch?v=sYcOK51hl-A
old_last_node = prev
return old_last_node
print_linkedlist(reverseList(head))
Recursive method
def reverseList(head):
"""
return the new head with the reversed linkedlist
"""
if head==None or head.next==None:
return head
old_second = self.reverseList(head.next)
head.next.next = head
head.next=None
return old_second
print_linkedlist(reverseList(head))
- Design an algorithm that uses O(sqrt(n)) extra space.
因为题目要求仅仅是reversely traverse, 有多余位置存储信息的话, 我们就可以事实上不改变node之间的联系了.
def reverse_sqrt_n(head):
# 为了方便描述 记 K = sqrt(n)
# # -------第一步: 找到list的长度------
# 假设我们不知道这个list有多长, 我们首先需要获取长度信息.
n=0
node=head
while node:
n+=1
node=node.next
#to know how long is our linked list, time O(n), space O(1)
k=int(n**.5)+1 #确定sqrt(n)的大小
# 到这一步为止 time用了n, space用了1
# ---------第二步: 存储每第K个node位置-------
# 存储每第sqrt(k)个node
# 一共有 k/sqrt(k)=sqrt(k)次操作, 存好了以后会使用sqrt(k)space.
i=0
node=self
lsa=[node]
node_stored_position_sequence=[] #只是为了分析而用
count = 0
while node:
i+=1
count+=1
if i==k:
lsa.append(node)
node_stored_position_sequence.append(count) #只是为了分析而用
i=0
last_node=node
node=node.next
if i>0:
lsa.append(last_node)
# print(node_stored_position_sequence)
# 如果n=100的话,这里node_stored_position_sequence应该存了 [11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99]个node.
# 到这一步为止 time用了2n, space用了K
# -------第三步: 反向打印------
# 我们已经存了每第sqrt(n)个node的位置, 那么要如何反过来呢?
# 每一次我们pop一个node, 并且记录上一次被pop的那个.
# 处理最后一个node就是:顺序 node = node.next地把结果存起来,存到之前存的那个为止
# 比如我们存22号node, 就一路 node = node.next 的把结果保存到一个list里, 直到遇到33号为止
# 存完[22, 23, 24... 32]之后, 我们反着打印. 反着打印花的时间是K.
# 这样我们操作K次, 每次使用K的空间.
# 一共space cost是K, time cost则是n+n + K*K = 3n = O(n).
start_node=lsa.pop()
print(start_node.value)
while lsa: # this happens K times. K = sqrt(K)
last_printed_node=start_node
start_node=lsa.pop()
node=start_node
ssa=[]
while node!=last_printed_node:
ssa.append(node)
node=node.next
# [print(v.value, end=" ") for v in ssa]
# 如果打印的话, 这一步应该打印 sqrt(n) 次, 每一次打印一个 sqrt(n)长度的数组
ssa.reverse()
for node in ssa:
print(node.value)
Q5 : Consider the problem of given an integer n, generating all possible permutations of {1,2,3...n}
- 了解这道题里的复杂度分析是最重要的一点.
举个例子
permute(3) = [[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]]
显然 如果已经知道了permute(2), 那permute(3)则只需要在每一个permute(2)的任意一位置加入3这个数字 ,
[[1, 2], [2, 1]]
[[1,2,3], [1,3,2], [3,1,2]
[[2,1,3], [2,3,1], [3,2,1]].
所以, 时间复杂度由T(n) = n * T(n-1) + O(1) , 可以推出时间复杂度是 O(N!)
空间: O(N!) 因为要记录排列组合本身就需要O(N!)这么大的空间
- recursive method(推荐)
def permute(n):
'''
:type n: int
:rtype: List[List[int]]
return the list contains each lists of permutation
from {1,2,..n}
'''
l = []
s = []
v = [0 for i in range(n+1)]
# 我们不用index 0的位置, 因为题目要求permute从1到n
# 1 based index
def dfs(l,s,v,index):
#start is for the beginning position
if index==n+1:
l.append(s[:]) #记录当前组合
return
else:
for i in range(1,n+1):
if v[i]==0:
s.append(i)
v[i]=1
dfs(l,s,v,index+1)
v[i]=0
s.pop() #回溯操作
dfs(l,s,v,1)
return l
print(permute(3))
- iterative method(Heap's algorithm)
def permute_iterative_heap_s_algorithm(n):
"""
:type n: int
:rtype: List[List[int]]
"""
c = [0 for i in range(n)]
A = [i+1 for i in range(n)]
i = 0
res= [A[:]]
while i < n:
if c[i] < i:
if i%2==0:
A[0],A[i] = A[i], A[0]
else:
A[c[i]], A[i] = A[i],A[c[i]]
res.append(A[:])
c[i] += 1
i = 0
else:
c[i] = 0
i += 1
return res