[HDU2065] "红色病毒"问题 （生成函数）

题目描述

Problem Description
医学界发现的新病毒因其蔓延速度和Internet上传播的"红色病毒"不相上下,被称为"红色病毒",经研究发现,该病毒及其变种的DNA的一条单链中,胞嘧啶,腺嘧啶均是成对出现的。
现在有一长度为N的字符串,满足一下条件:
(1) 字符串仅由A,B,C,D四个字母组成;
(2) A出现偶数次(也可以不出现);
(3) C出现偶数次(也可以不出现);
计算满足条件的字符串个数.
当N=2时,所有满足条件的字符串有如下6个:BB,BD,DB,DD,AA,CC.
由于这个数据肯能非常庞大,你只要给出最后两位数字即可.
Input
每组输入的第一行是一个整数T,表示测试实例的个数,下面是T行数据,每行一个整数N(1<=N<2⁶⁴),当T=0时结束.
Output
对于每个测试实例,输出字符串个数的最后两位,每组输出后跟一个空行.

样例输入输出

Sample Input
4
1
4
20
11
3
14
24
6
0

Sample Output
Case 1: 2
Case 2: 72
Case 3: 32
Case 4: 0

Case 1: 56
Case 2: 72
Case 3: 56

解题思路

生成函数裸题。。。
字母A和字母C只可能出现偶数次，而且同种字母之间还要考虑顺序问题，因此，把A，C字母出现的情况写成生成函数的形式就是介样：
$$(x^0+x^2+x^4+x^6+...{)}^2$$
字母B和字母D的出现没有限制，同样要考虑顺序问题，因此，把它们的出现情况写成生成函数的形式如下：
$$(x^0+x^1+x^2+x^3+...{)}^2$$
由此，字符串可能的组成情况写成生成函数如下：
$$(x^0+x^2+x^4+x^6+...{)}^2(x^0+x^1+x^2+x^3+...{)}^2$$
接着，我们把生成函数写成闭形式，即：
$$(\frac{e^x-e^{-x}}{2}{)}^2\cdot (e^x{)}^2$$
将上式去括号：
$$\frac{e^{4x}+2\cdot e^{2x}+1}{4}$$
然后，再将上面两个带x的项泰勒展开：
$$e^{4x}=1+\frac{4x}{1!}+\frac{(4x{)}^2}{2!}+\frac{(4x{)}^3}{3!}+\frac{(4x{)}^4}{4!}+...+\frac{(4x{)}^n}{n!}+...$$
$$e^{2x}=1+\frac{2x}{1!}+\frac{(2x{)}^2}{2!}+\frac{(2x{)}^3}{3!}+\frac{(2x{)}^4}{4!}+...+\frac{(2x{)}^n}{n!}+...$$
得到其中幂为n的项的系数和，即：$$answer=\frac{4^n+2\times 2^n}{4}=4^{n-1}+2^{n-1}$$
最后再套快速幂即可（稍稍注意一下n的范围，1<=N<2⁶⁴，要用long long）

参考代码

#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 100;
const int mod = 100;
int T; long long n;

inline int qkpow (int x, long long y) {
	int res = 1;
	for (; y; y >>= 1, x = (x * x) % mod)
		if (y & 1) res = (res * x) % mod; 
	return res;
}

int main () {
	while (scanf ("%d", &T) && T) {
		int Kase = 0;
		while (T --) {
			scanf ("%lld", &n);
			printf ("Case %d: %d\n", ++ Kase, ( qkpow (2, n - 1) + qkpow (4, n - 1) ) % mod);
		}
		putchar ('\n');
	}
	return 0;
}