K-D tree小结
介绍
是一个能维护多维空间中点集的数据结构。
各方面操作复杂度据说都比较玄学。
构造
假设现在要维护的是一个 k k k 维点的点集。
K-D tree会构造成一个类似平衡树的样子，但是一般的平衡树只有一个键值，而这里每个点有 k k k 维的坐标，看起来不是很好比较。
容易想到的方法是，每一个节点处只比较一维坐标，先选定一个点放在当前位置，对于剩下的点，这一维坐标比当前点的要小的话，就放在左子树里，否则放在右子树里。
那么每个节点处比较哪一维坐标呢？普遍的方法是轮流比较，如果我的父亲比较的是第 c c c 维，那我就比较第 ( c + 1 ) m o d k (c+1)\bmod k (c+1)modk 维，即，深度为 d d d 的节点比较 d m o d k d\bmod k dmodk 维。
另一个不普遍的做法是最大方差法，是取当前方差最大的那一维来做比较，这两种做法的实践时间复杂度比较会在最后给出。
那么建树的代码如下（轮流比较法 自己瞎起的名字）：
int C;bool cmp(point x,point y){return x.d[C]<y.d[C];}//d[C]表示第C维的坐标
void build_KDtr(KD_node *&now,int l,int r,int CO=0)
{
if(l>=r)return;
int mid=l+r>>1;C=CO;
nth_element(q+l,q+mid,q+r,cmp);
//取这一维坐标大小在中间的点作为当前点，函数的作用是，比他小的放左边，比他大的放右边
now=new KD_node(q[mid],r-l);
build_KDtr(now->zuo,l,mid,(CO+1)%K);
build_KDtr(now->you,mid+1,r,(CO+1)%K);
now->check();
}
然后这是一个节点内储存的信息：
struct KD_node{
point x,ld,ru;
//一棵子树对应一个点集，ld和ru记录的是这个点集构成的矩阵的左下角和右上角
//ld即leftdown，ru即rightup，这两个信息会在大部分关于K-D tree的询问中用到
KD_node *ch[2];
int size;//子树大小，后面会讲用处
KD_node(point &X,int sz):x(X),ld(X),ru(X),size(sz){zuo=you=null;}
//这里的null不是NULL写错了，null是一个节点，它的用处是避免讨论一些边界情况
KD_node(){}
void check(){
for(int i=0;i<K;i++){
ld.d[i]=min(x.d[i],min(zuo->ld.d[i],you->ld.d[i]));
ru.d[i]=max(x.d[i],max(zuo->ru.d[i],you->ru.d[i]));
}
}
};
顺便给一下null节点的构造：
void init(){
null=new KD_node();null->size=0;
for(int i=0;i<K;i++){
null->ld.d[i]=inf;
null->ru.d[i]=-inf;
}
}
添加节点
像平衡树一样添加就好了。
void add_node(KD_node *&now,point x,int CO=0,bool v=false)
{
if(now==null){now=new KD_node(x,1);return;}
now->size++;
C=CO;int to=cmp(x,now->x)^1;
bool tf=false;
if(now->size*alpha<=now->ch[to]->size+1)tf=true;
add_node(now->ch[to],x,(CO+1)%K,v|tf);
if(!v&&tf)rebuild(now);
now->check();
}
里面用到了一个看起来很奇怪的东西，rebuild。
容易发现，如果你往一个小矩形范围内加很多点，那么K-D tree就会变得很深，做询问时复杂度会变得很大，于是此时我们需要重新建树，类似替罪羊树那样， t f tf tf 和 v v v 的作用是找到最浅的需要重构的点，重构的标准是：左或右子树的大小占了总子树大小的 α \alpha α 以上。这里 α \alpha α 取了 0.75 0.75 0.75。
rebuild函数的实现：
void erase(KD_node *&now){
if(now==null)return;
q[++n]=now->x;
erase(now->zuo);erase(now->you);
delete now;
}
void rebuild(KD_node *&now){n=0;erase(now);build_KDtr(now,1,n+1);}
例题
SJY摆棋子
题目大意： 给出 n n n 个黑点， m m m 次操作，每次新增一个黑点，或给出一个白点，问离这个白点最近的黑点到它的距离。
先将黑点造出K-D tree，新增黑点就是添加节点，询问的话就要用到上面维护的矩形。
做法比较玄学，对于当前询问的点，放到K-D tree里面去递归，每到达一个节点就用该节点上的点来更新答案。
然后再看左右儿子，看一下询问的点离哪个儿子对应的矩形近，就先去哪个，递归完之后，再看看询问点到另一个儿子的矩形的距离，假如小于答案，那就说明有可能更新答案，再递归进去跑。
所以本质就是个搜索加剪枝。
据说时间复杂度是 O ( log n O(\log n O(logn ~ n ) \sqrt n) n) 的？
不是很懂qwq，代码如下：
#include 上面这个是轮流比较法，最大方差法类似，只需要改build_KDtr函数就可以了，下面是两者时间比较：
上面的是最大方差法，下面的是轮流比较法。
大概是蒟蒻实现的不好，最大方差法跑的居然会慢些……但具体看每一个测试点的话，还是各有千秋的。
题表
蒟蒻刚学K-D tree，以后还会更新的qwq
[BJWC2014]数据 题解
[CQOI2016]K远点对 题解