数据结构——时间复杂度

前言

当你拿到一段代码时，你该如何判断这一段代码算法的好坏程度？

有的人会说跑一下（运行一下），事后统计运行时间。当然这样确实能够直观的通过看运行程序所花费时间，但是这存在着一些问题：

• 和机器性能有关
  • 超级计算机 vs 单片机（同样的一段代码一定是超级计算机运行的时间更快）
• 和编程语言有关
  • 越高级的语言运行的效率越低
• 编译程序产生的机器指令质量有关
• 有些算法不能事后统计
  • 导弹控制算法（不能为了统计算法的效率发射一颗导弹试试）

所以综上，如果使用事后统计（先运行一下）的方法，算法运行的速度除了和自身算法的优劣有关，还和许多的外界因素有关。并且从上我们可以提出两个问题：

• 能否排除外界与算法本身无关的因素？
• 能否事先估计？

至此我们引入了一个概念：算法复杂度

算法时间复杂度

含义

事前预估算法时间开销T(n)与问题规模n的关系（T代表时间“Time”）

爱你三千遍

我们使用一段简单的代码来解释时间复杂度

#include

void loveU(int n){
    // n为问题规模
    int  i = 1;
    while(i<=n){
   
        printf("I love you %d\n times",i);
        i++;
    }
    printf("I love you more than %d\n",n);
}

int main(){
   
    loveU(3000);
}

代码分析

在主函数中，我们调用loveU()函数，并且传入问题规模n（3000）

我们看loveU()函数中的5条语句频度

int i = 1 // 执行1次
while(i<=n){ // 执行3001次
	printf("I love you %d\n",n); // 执行3000次
	i++; // 执行3000次
}
printf("I love you more than %d\n",n); // 执行1次

故：$T(3000)=1+3001+3000\ast 2+1$，得出时间开销与问题规模n的关系：$T(n)=3n+3$

推导过程：

1 + 3001 + 3000*2 + 1

-> (3001->3000+1) 1 + 1 + 1 + 3000*3

问题1：是否可以忽略表达式某些部分？

上述的例子中，问题规模n与时间开销的关系还算比较简单。

但是如果有一个表达式是：$T(n)=n^3+6n^2+n+1500$ 那么我们就很难一眼看出其复杂度。那么我们就会提出一个问题，是否可以忽略表达式某些部分呢？

回答1：可以忽略表达式某些部分

答案是肯定的，我们可以忽略表达式的某些部分。

忽略低阶保留最高阶（数量级）

要回答这个问题，我们可以通过上述的例子来理解：

当$n=3000$时：

$3n=9000$ vs $3n+3=9003$

$n^2=9000000$ vs $n^2+3n+1000=9010,000$

$n^3=27000000000$ vs n 3 + n 2 + 9999999 = 270189999999 n^3+n^2+9999999=270189999999