#P4770 [NOI2018]你的名字 的题解

题目背景

实力强大的小A 被选为了ION2018 的出题人，现在他需要解决题目的命名问题。

题目描述

小A 被选为了ION2018 的出题人，他精心准备了一道质量十分高的题目，且已经把除了题目命名以外的工作都做好了。

由于ION 已经举办了很多届，所以在题目命名上也是有规定的，ION 命题手册规定：每年由命题委员会规定一个小写字母字符串，我们称之为那一年的命名串，要求每道题的名字必须是那一年的命名串的一个非空连续子串，且不能和前一年的任何一道题目的名字相同。

由于一些特殊的原因，小A 不知道ION2017 每道题的名字，但是他通过一些特殊手段得到了ION2017 的命名串，现在小A 有Q 次询问：每次给定ION2017 的命名串和ION2018 的命名串，求有几种题目的命名，使得这个名字一定满足命题委员会的规定，即是ION2018 的命名串的一个非空连续子串且一定不会和ION2017 的任何一道题目的名字相同。

由于一些特殊原因，所有询问给出的ION2017 的命名串都是某个串的连续子串，详细可见输入格式。

输入格式

第一行一个字符串S ，之后询问给出的ION2017 的命名串都是S 的连续子串。 第二行一个正整数Q，表示询问次数。 接下来Q 行，每行有一个字符串T 和两个正整数l,rl,r，表示询问如果ION2017 的 命名串是S [l..r]S[l..r]，ION2018 的命名串是T 的话，有几种命名方式一定满足规定。

输出格式

输出Q 行，第i 行一个非负整数表示第i 个询问的答案。

输入输出样例

输入 

1 scbamgepe
2 3
3 smape 2 7
4 sbape 3 8
5 sgepe 1 9

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输出 

1 12
2 10
3 4

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题解

• 分析

我们考虑对于一个询问，先求出TT中本质不同的子串个数，然后减去是S(l,r)S(l,r)子串的。

本质不同的子串个数，直接用height数组的性质就可以求。

我们考虑，对于TT的每一个后缀，求出其最长的前缀长度LL，使得该后缀长度为LL的前缀是S(l,r)S(l,r)的子串。

把SS和所有TT连起来建后缀数组。为了方便计算每个询问，我们用链表的方法，记录每个位置在同一个串中的前驱后继。

然后我们按顺序考虑TT的每一个后缀。

如果aa位置的后缀的满足条件的最长前缀为LL,，则a+1a+1位置的至少为L-1L−1。原理和求height数组相同，两边都同时去掉第一个字符，至少还留下L-1L−1。

所以考虑每个位置的话，用双指针扫描一下即可。

然后，假如我们现在考虑位置aa的长度为LL的前缀是否可行，就是相当于在SS的[l,r-L+1][l,r−L+1]内找一个位置bb，满足LCP(a,b)\geqslant LLCP(a,b)⩾L。

满足LCP(a,b)\geqslant LLCP(a,b)⩾L条件的在后缀数组上的区间[ll,rr][ll,rr]，可以二分，配合height数组的ST表在O(\log n)O(logn)的时间内求出。

然后问题转化为询问在后缀数组上的区间[ll,rr][ll,rr]内，是否存在一个在SS的[l,r-l+1][l,r−l+1]中的字符。这个问题可以用建主席树然后询问，单次查询时间复杂度O(\log n)O(logn)。

对于一个位置，它与后缀数组上一个位置可能会算重，所以要减掉它们的LCPLCP。由于两个位置可能不连续，这部分也要用ST表来查。

所以总时间复杂度O(n\log n)O(nlogn)。n=|S|+\sum|T|n=∣S∣+∑∣T∣。

• 代码

  1 #include
  2 #include
  3 #include
  4 #define N 500505
  5 #define M 1800505
  6 #define reg register
  7 #define lg2(x)(31-__builtin_clz(x))
  8 typedef long long LL;
  9 int n,sa[M],height[M],x[M],s[M],mgk,bel[M],m,QL[N],QR[N],y[M],st[22][M],nxt[M],head[N],node=0,rt[M],pp[M],len[N];
 10 int ls[M*20],rs[M*20],sz[M*20];
 11 char ss[N];
 12 bool isk;
 13 int _L,_R;
 14 void add(int&o,int pr,int l,int r,int pos){
 15     sz[o=++node]=sz[pr]+1;
 16     if(l<r){
 17         const int mid=l+r>>1;
 18         if(pos<=mid)add(ls[o],ls[pr],l,mid,pos),rs[o]=rs[pr];else add(rs[o],rs[pr],mid+1,r,pos),ls[o]=ls[pr];
 19     }
 20 }
 21 void sort(){
 22     int m=mgk,c[M];
 23     for(int i=1;i<=m;++i)c[i]=0;
 24     for(int i=1;i<=n;++i)++c[x[i]=s[i]];
 25     for(int i=1;i<=m;++i)c[i]+=c[i-1];
 26     for(int i=n;i;--i)sa[c[x[i]]--]=i;
 27     for(int k=1,p;k<=n;k<<=1){
 28         p=0;
 29         for(int i=n-k+1;i<=n;++i)y[++p]=i;
 30         for(reg int i=1;i<=n;++i)if(sa[i]>k)y[++p]=sa[i]-k;
 31         for(reg int i=1;i<=m;++i)c[i]=0;
 32         for(reg int i=1;i<=n;++i)++c[x[i]];
 33         for(reg int i=1;i<=m;++i)c[i]+=c[i-1];
 34         for(reg int i=n;i;--i)sa[c[x[y[i]]]--]=y[i];
 35         std::swap(x,y);
 36         x[sa[1]]=p=1;
 37         for(int i=2;i<=n;++i)
 38         x[sa[i]]=y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k]?p:++p;
 39         if(p==n)break;
 40         m=p;
 41     }
 42     for(int i=1,k=0;i<=n;++i)
 43     if(x[i]>1){
 44         k-=!!k;
 45         const int j=sa[x[i]-1];
 46         while(s[i+k]==s[j+k])++k;
 47         height[x[i]]=k;
 48     }
 49 }
 50 inline int find(int l,int r){
 51     if(l>r)return n;
 52     const int lg=lg2(r-l+1);
 53     return std::min(st[lg][l],st[lg][r-(1<1]);
 54 }
 55 void init(){
 56     for(reg int i=1;i<=n;++i)st[0][i]=height[i];
 57     for(int i=0;i<21;++i)
 58     for(reg int j=1;j<=n;++j)
 59     if(j+(1<1][j]=std::min(st[i][j],st[i][j+(1<else break;
 60     int pre[N];
 61     memset(pre,0,sizeof pre);
 62     for(int i=1;i<=n;++i)
 63     if(s[sa[i]]<='z'){
 64         if(pre[bel[sa[i]]])
 65         nxt[pre[bel[sa[i]]]]=i,pp[i]=pre[bel[sa[i]]];else head[bel[sa[i]]]=i;
 66         pre[bel[sa[i]]]=i;
 67     }
 68 }
 69 void query(const int&ri,const int&le,int l,int r){
 70     if(sz[ri]==sz[le]||isk)return;
 71     if(_L<=l&&r<=_R)return(void)(isk=1);
 72     const int mid=l+r>>1;
 73     if(_L<=mid)query(ls[ri],ls[le],l,mid);
 74     if(mid<_R&&!isk)query(rs[ri],rs[le],mid+1,r);
 75 }
 76 bool check(int pos,int len,int l,int r){
 77     int L,ll,rr;
 78     ll=1,rr=pos-1;
 79     while(ll<=rr){
 80         const int mid=ll+rr>>1;
 81         if(find(mid+1,pos)>=len)rr=mid-1;else ll=mid+1;
 82     }
 83     L=rr;
 84     ll=pos+1,rr=n;
 85     while(ll<=rr){
 86         const int mid=ll+rr>>1;
 87         if(find(pos+1,mid)>=len)ll=mid+1;else rr=mid-1;
 88     }
 89     isk=0;
 90     _L=l,_R=r;
 91     query(rt[ll-1],rt[L],1,n);
 92     return isk;
 93 }
 94 int main(){
 95     memset(bel,-1,sizeof bel);
 96     mgk='z'+1;
 97     scanf("%s",ss);
 98     for(int i=0;ss[i];++i)
 99     s[++n]=ss[i],bel[n]=0;
100     s[++n]=mgk++;
101     scanf("%d",&m);
102     for(int i=1;i<=m;++i){
103         scanf("%s%d%d",ss,QL+i,QR+i);
104         for(int j=0;ss[j];++j)
105         s[++n]=ss[j],bel[n]=i;
106         len[i]=n;
107         s[++n]=mgk++;
108     }
109     sort();
110     init();
111     for(reg int i=1;i<=n;++i)
112     if(!bel[sa[i]])add(rt[i],rt[i-1],1,n,sa[i]);else rt[i]=rt[i-1];
113     for(int i=1;i<=m;++i){
114         LL ans=len[i]-sa[head[i]]+1;
115         int mnid=sa[head[i]];
116         for(int j=nxt[head[i]];j;j=nxt[j]){
117             ans+=len[i]-sa[j]+1;
118             ans-=find(pp[j]+1,j);
119             mnid=std::min(mnid,sa[j]);
120         }
121         for(int j=mnid,L=mnid;s[j]<='z';++j){
122             if(Lj;
123             while(s[L]<='z'&&check(x[j],L-j+1,QL[i],QR[i]-L+j))++L;
124             if(x[j]!=head[i])ans-=std::max(L-j-find(pp[x[j]]+1,x[j]),0);else
125             ans-=L-j;
126         }
127         printf("%lld\n",ans);
128     }
129     return 0;
130 }

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