树状数组应用汇总-二维区间查询，区间修改差分公式推导

树状数组个人总结

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单点修改，区间查询

int tree[maxn];
inline int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
inline void update(int x,int val){ //将x处的值增加val
    for(int i=x;i<maxn;i+=lowbit(i)){
        tree[i]+=val;
    }
}
inline int query(int x){ //求[1,x]的所有值的和
    int ans=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){
        ans+=tree[i];
    }
    return ans;
}

单点修改，区间最值

注意修改某个位置x的值的时候，也要修改a[x]的值

int tree[maxn],a[maxn];
inline int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
inline void update(int x,int val,int n){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        tree[i]=val;
        for(int j=1;j<lowbit(i);j<<=1){
            tree[i]=max(tree[i],tree[i-j]);
        }
    }
}
inline int query(int x,int y){
    int ans=0;
    while(x<=y){
        ans=max(ans,a[y]);
        for(y-=1;y-lowbit(y)>=x;y-=lowbit(y)){
            ans=max(ans,tree[y]);
        }
    }
    return ans;
}

求第k小的值

思路：

​	若对于a数组，a[i]=1表示，数列中存在i这个值，那么如果用最直接的方式求第k小

就是从小到大遍历计数，直到找到k个数。这种方法是O(n)的时间复杂度

​	利用树状数组求就是二进制的思想，每次不是一个格子一个格子的求，而是多个求。

例如数列：2，3，6，8，10，求第k=4小的数

  对于原始数组a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

​	  数组内值 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1

ans为当前得到的数的值，cnt为上次得到的数所在的排名，即第cnt小的数。

t=log2(10)=3;

t=3时，ans=0+2^3=8<10，cnt+tree[8]=a[1]+a[2]+……+a[8]=4==4，所以ans-=8=0；

t=2时，ans=0+2^2=4<10，cnt+tree[4]=0+a[1]+a[2]+a[3]+a[4]=2<k，所以cnt+=2=2；

t=1时，ans=4+2^1=6<10，cnt+tree[6]=2+a[5]+a[6]=3<k，所以cnt+=1=3；

t=0时，ans=6+1=7<10，cnt+tree[7]=3+a[7]=3<k，所以cnt+=0=3；

所以第4小的值为ans+1=8.

int tree[maxn];
inline int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
inline void update(int x,int val){ //将x处的值增加val，此处val一般为1
    for(int i=x;i<maxn;i+=lowbit(i)){
        tree[i]+=val;
    }
}
inline int query(int x){ //求[1,x]的所有值的和
    int ans=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){
        ans==tree[i];
    }
    return ans;
}
inline get_kth(int k,int n){ //求第k小的数的值，n为最大的数的值，一般比最大数的值大1
    int ans=0,cnt=0; //ans为当前是哪个数，cnt为上个数排名为多少
    for(int i=log2(n);i>=0;i--){
        ans+=1<<i;
        if(ans>=n||cnt+tree[ans]>=k) ans-=1<<i; //若当前数大于最大的数，或者排名大于k，回退
        else cnt+=tree[ans];
    }
    return ans+1;
}

区间修改，单点查询

思路：

​ 利用差分的思想，即：
$$a_k=\sum _{i=1}^k{d}_i，其中d_i=a_i-a_{i-1}$$
由上式可以看出某个位置的值只和起点的值大小有关，所以修改区间的时候，只需要修改端点的值即可。

int tree[maxn];
inline int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
inline void update(int x,int val){
    for(int i=x;i<maxn;i+=lowbit(i)){
        tree[i]+=val;
    }
}
inline int query(int x){
	int ans=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){
        ans+=tree[i];
    }
    return ans;
}
int a[maxn];
int main(){
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i),update(i,a[i]-a[i-1]); //初始化
   	update(2,10);update(8,-10); //将区间[2,7]的所有数的值增加10
   	printf("%d\n%,query(4)); //查询[4]处的值
}

区间修改，区间查询

思路：

​ 也是利用差分的思想：
$$\begin{gathered} 对于a_k我们知道a_k=\sum _{i=1}^k{d}_i \\ 则\sum _{i=1}^k{a}_i=\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^i{d}_j=\sum _{i=1}^k(k+1-i)\cdot d_i \\ 则可得\sum _{i=1}^k{a}_i=\sum _{i=1}^k(k+1)\cdot d_i-\sum _{i=1}^{k}i\cdot d_i=(k+1)\cdot \sum _{i=1}^k{d}_i-\sum _{i=1}^{k}i\cdot d_i \end{gathered}$$
则可通过树状数组维护两个数组分别存储$d_i$和$i\cdot d_i$，更新区间的时候与上面一样只需要更新端点即可。

若要修改的区间为[x,y]，则要更新的为update(x,val);update(y+1,-val);

若要查询的区间为[x,y]，则查询的为query(y)-query(x-1);

int tree1[maxn],tree2[maxn];
inline int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
inline void update(int x,int val){
    for(int i=x;i<maxn;i+=lowbit(i)){
        tree1[i]+=val;tree2[i]+=x*val;
    }
}
inline int query(int x){
    int ans=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){
        ans+=(x+1)*tree1[i]-tree2[i];
    }
    return ans;
}
int a[maxn];
int main(){
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i),update(i,a[i]-a[i-1]); //初始化
    update(2,10);update(8,-10); //将区间[2,7]所有的值增加10
    printf("%d\n",query(6)-query(4-1)); //查询区间[4,6]的和
}

高维树状数组

其他不说，简单修改就可以，对于最后的区间查询，区间修改简单推导如下：
$$\begin{gathered} 因为a_{nm}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{d}_{ij}，其中d_{ij}=a_{ij}-a_{(i-1)\dot{j}}-a_{i\dot{(}j-1)}+a_{(i-1)(j-1)} \\ 则\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_{ij}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{k=1}^i\sum _{p=1}^j{d}_{kp}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(m\cdot n-(i-1)\cdot m-(j-1)\cdot n+(i-1)\cdot (j-1))\cdot d_{ij} \\ 则可得\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_{ij}= \\ (m\cdot n)\cdot \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{d}_{ij}-m\cdot \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(i-1)\cdot d_{ij}-n\cdot \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(j-1)\cdot d_{ij}+\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(i-1)\cdot (j-1)\cdot d_{ij} \end{gathered}$$
所以需要用四个数组分别维护$d_{ij}$，$(i-1)\cdot d_{ij}$，$(j-1)\cdot d_{ij}$和$(i-1)\cdot (j-1)\cdot d_{ij}$

若要修改的矩形区间为[x1,y1]-[x2,y2]，则更新的点为

​update(x1,y1,val);update(x2+1,y2+1,val);update(x1,y2+1,-val);update(x2+1,y1,-val);

若要查询的举行区间为[x1,y1]-[x2,y2]，则查询的值为

​ query(x2,y2)-query(x1-1,y2)-query(x2,y1-1)+query(x1-1,y1-1)

int tree1[maxn][maxn],tree2[maxn][maxn],tree3[maxn][maxn],tree4[maxn][maxn];
inline int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
inline void update(int x,int y,int val){
    for(int i=x;i<maxn;i+=lowbit(i)){
        for(int j=y;j<maxn;j+=lowbit(j)){
            tree1[i][j]+=val;tree2[i][j]+=(x-1)*val;
            tree3[i][j]+=(y-1)*val;tree4[i][j]+=(x-1)*(y-1)*val;
        }
    }
}
inline int query(int x,int y){
    int ans=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){
        for(int j=y;j>0;j-=lowbit(j)){
            ans+=(x*y)*tree1[i][j]-y*tree2[i][j]-x*tree3[i][j]+tree4[i][j];
        }
    }
    return ans;
}
int a[maxn][maxn];
int main(){
    int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
            update(i,j,a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]);
        }
    }
    update(2,3,10);update(7,6,10);update(2,6,-10);update(7,3,-10); 
    //将矩形区间[2,3]-[6,5]所有的值增加10
    printf("%d\n",query(4,5)+query(2,1)-query(2,5)-query(4,2)); 
    //查询矩形区间[3,2]-[4,5]的和
}