算法/题解-二分图匹配（匈牙利算法）

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洛谷

什么是二分图？

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。 ——百度百科

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通俗地说，二分图就是一种特殊的无向图，它有两堆顶点。每一堆里的每一个顶点都只能和另一堆的顶点相连，而不能和自己这堆的其它点相连。上图就是一个二分图

如果我们删去一些边，使得任意两条边都不依附于同一个顶点，则称这种情况为匹配。最大匹配就是让剩余边的数字的数目最大。
特别的，如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配。

题解-匈牙利算法

交替路和增广路： 如下图，如果已匹配和待匹配的边（下图中黑线代表已匹配的边，红线代表未匹配的边）交替出现，则称这条路为交替路，交替路分为两种，一种是首尾边已匹配的，另一种是首尾边未匹配的。对于后者，它就是所谓的增广路了。在图中，红色的线路就是一条增广路。

对于一条增广路，只要将它做取反操作，就能得到另一条交替路，而且这条交替路的匹配数比原来的增广路大一。我们一只重复这个找增广路->取反的操作，就能得到最大匹配了。
比如在上图中，如果我们匹配了$(U_2,V_1)$,$(U_3,V_2)$此时匹配数为2，发现$(U_3,V_3)$也能匹配，于是我们把$U_3$的匹配改为$V_3$，这样$U_2$与$V_2$匹配，$U_1$与$V_1$匹配，发现匹配数就变成了3。
这就是匈牙利算法的全部内容了，其实还是很简单的

code:

#include 
using namespace std;
bool vis[1010],linked[1010][1010];
int next[1010];
int n,m,e;
bool dfs(int x){
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(!vis[i]&&linked[x][i]){
			vis[i]=true;
			if(!next[i]||dfs(next[i])){
				next[i]=x;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

int main(){
	
	cin>>n>>m>>e;
	int u,v;
	for(int i=1;i<=e;i++){
		cin>>u>>v;
		if(u<=n&&v<=m)
		linked[u][v]=true;
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		memset(vis,false,sizeof(vis));
		if(dfs(i)) ans++;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

写作时间：

2019-9-21