机器人理论（4）逆向运动学：已知物体位置反推关轴角度

引言

我们已经知道如何已知角度去推算机械臂末端的位置，那么如何由位置反推出机械臂到达需求位需要的角度呢？

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逆向运动学

基本过程就是已知手臂末端点的位置{H}（机器手head）或者该坐标系相对于世界坐标系{W}的向量，求出关轴的角度。根据题目题目难度，有时候可以直接求解出角度，有时候需要借助矩阵算出角度。

其中求解方法大致分为如下几种方法：解析法（几何法、代数法等）和数值法。

目录

几何法

代数法

数值法

综合例题

Tips:从多个解中选择的方法

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几何法

顾名思义，直接利用几何关系和定理求解即可。在这里直接引出经典的PUMA机械臂案例。

【举例】已知、、，如何求、、。( 、 为坐标点、 = + + )

【求解过程】

上图表明了 取决于 的正负。当<0时，属于绿色三角形。当>0时，属于蓝色三角形。

得到如图关系式后，就可以开始代入求解了。

 

代数法

【例题】和上面例题一样

【求解过程】

代数，并使用极坐标知识，可以得出：（小声bb:现在才知道高中数学的重要性....）

数值法

列出每个关节的T矩阵，让电脑自己往里面带入数据，数字一个一个跑，直到求出解为止。

反算出的方法不止一种。由于数值法对电脑算力有要求，解析法（几何法、代数法）因为不需要举出大量数字让计算机去逼近求解，而且求逆矩阵快，所以大部分情况下使用的是解析法求解。然而想要让机械臂能够使用解析法求解，机械臂的设计就要满足一个条件——存在相邻的三轴相交于同一点，这个也称为 Pieper's Solution。

 

相关例子

使用经典的符合Pieper条件的PUMA手臂作为例题 ，有=。

由于前三轴是负责移动的，后三轴负责转动的，为了方便分两步走。

（1）求解 、、 （代数法）

由之前讲过的T矩阵的特性，可以得出这个：

使用代数法运算，为了方便求解，我们先定义好代数式 f, g

可以知道f 是有关 的函数，g为有关、 的函数，展开有：

在这里先假设代数 K：

然后加入并定义代数 r，就有：

可以知道r是有关、 的函数。

由于高度Z本身和有关，所以它也是一个有关、 的函数。

到这一步我们已经得到两个不用考虑，且与、 有关的函数了，联立起来，有：

即可联系已知求解，然后再依次求解出、。

 

（2）求解 、、 

由上式已知我们的、、，并且我们的4，5，6关节都符合pieper条件，就可以直接通过下式算出答案：

【这里的求解过程参考（2）】

 

综合例题

【解题过程】

 

 

Tips:从多个解中选择的方法

 

上传图片时浏览器突然卡机，发现草稿箱里没有保存，全部都要重写。烦躁。

感谢：课程内容、PPT来自林沛群教授的课程《机器人学》!!!