关于Matlab中的线性与非线性最小二乘拟合

1、线性最小二乘拟合

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，其通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法通过变量的数据来描述变量之间的相互关系。例如通过描述x、y之间的相互关系。

常见的多项式拟合曲线有：直线、多项式、双曲线、指数曲线。Matlab中的最小二乘函数：P=polyfit(x,y,n)（n=1时为），[P Smu]=polyfit(x,y,n)，polyval(P,t)返回n次多项式在t处的值（plot(t, polyval(P,t)）。P-返回n次拟合多项式系数从高到低依次存放于向量P中，S-包含三个值其中normr是残差平方和，mu-包含两个值mean（x）均值，std（x）标准差。

2、非线性拟合

超定方程组（方程组的个数大于未知数的个数），Matlab中提供lsqcurvefit和lsqnonlin两个非线性最小二乘拟合函数，两者的区别在于其定于的函数f(x)不一样。

非线性曲线拟合lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数F(x,xdata)=（F（x，xdata₁），…，F（x，xdata_n））^T中的参变量x(向量)，使得：

最小

其输入格式有：

(1)x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata);

(2)x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,options);

(3)x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’);

(4)[x, options] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…);

(5)[x, options,funval] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…);

(6)[x, options,funval, Jacob] = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,…);

其中fun为事先建立的函数F(x,xdata)的M-文件x0为迭代初始值，xdata、ydata为已知数据点、options为无约束优化。

非线性最小二乘拟合lsqnonlin用以求含参量x（向量）的向量值函数f(x)=(f₁(x),f₂(x),…,f_n(x))^T中的参量x，使得：

最小

其中

其输入格式为：

(1)x=lsqnonlin(‘fun’,x0);

(2)x= lsqnonlin (‘fun’,x0,options);

(3)x= lsqnonlin (‘fun’,x0,options,’grad’);

(4)[x，options]=lsqnonlin(‘fun’,x0,dwx,upx,options,Y);

其中，fun为建立的M文件，x0为初始值，dwx、upx为上、下限，options为无约束优化，Y为传入fun的参数值。

 

无约束优化options的设定options=optimset(‘optionName’,’optionValue’)，例如options = optimset('Display','iter','TolFun',1e-8)使得优化函数值的误差为1e-8，iter改为off不显示迭代过程。options = optimset('param1',value1,'param2',value2,...)