机器人学笔记之——操作臂逆运动学：代数解法和几何解法

0. 代数解法和几何解法

0.0 代数解法

我们用三连杆的平面操作臂为例：
就像这样的：

我们可以得出他的D-H参数表：

根据我们之前说过的知识。我们可以得到基座标系到腕部坐标系的变换矩阵，即正运动学方程：

由于我们是在讨论平面内的逆运动学，所以我们只需要确定三个量就可以确定目标点的位姿。这三个量分别是x,y,Φ，Φ是连杆3在平面内的方位角。
由此，我们可以写出另一个运动学方程：

联立两个运动学方程可得：

将（4-10）和（4-11）同时平方，两式相加化简可得：

由于这时，式中只有c2一个未知量，所以我们可以很容易地解出c2

得到的c2的值如果在-1到1之间的话，说明有解。否则说明无解，目标点超出了操作臂的工作空间。
如果有解的话，那么我们就可以接下去做了：

根据二幅角反正切公式得：

这样子做是为了求得所有的解，且所求的角度是在适当的象限里的。
现在我们已经得到θ2的值了，那么意味着s2 c2都是已知量。那么（4-10）和（4-11）中只有θ1一个未知量。那么我们就可以通过（4-10）和（4-11）求出θ1。
我们可以将（4-10）和（4-11）变成下面的形式：

其中：

接下来就是重要的一步：
假设：


那么就有：

那么将上式代入（4-17）和（4-18）我们就可以得到这样的式子：

我们可以惊奇地发现，右式是一种可以化简的形式，那么我们可以化简得到：

利用二幅角反正切公式得：

从而：

我们到此已经得到θ1和θ2的值了，那么再回过头看（4-8）和（4-9），我们可以由此得出关于θ3的方程：

由此解出θ3

0.1 几何解法

在几何解法中，我们为了得出操作臂的解，需要将操作表的空间几何参数转换到平面几何参数上去，用几何解法可以解许多操作表的运动学，而且相当容易直观。

还是拿刚刚的操作臂举例：

观察几何关系的部分我就不多说了，有高中数学基础的小伙伴们都可以自行寻找出来：
我们可以直接根据找到的几何关系，运用余弦定理求解θ2：

由于：

解得：

为求出θ1，我们需要建立两个中间的辅助角，β和Ψ，最后θ1 = β ± Ψ，因为可能会有两个解。



最后：

这样就可以通过几何关系求解该操作臂的逆运动学了。