数据结构笔记5 树与树的表示

（笔记总结自浙江大学数据结构）

引子（顺序查找、二分查找）

分层次组织在管理上具有更高的效率。
查找是数据管理的基本操作之一，那么如何实现有效率的查找？

查找：根据某个给定关键字K ，从集合R中找出关键字与K相同的记录。
静态查找：集合中记录是固定的。没有插入和删除操作，只有查找。
动态查找：集合中记录是动态变化的。除查找，还可能发生插入和删除。

静态查找
方法1：顺序查找

int SequentialSearch (StaticTable *Tbl, 
 ElementType K)
{ /*在表Tbl[1]~Tbl[n]中查找关键字为K的数据元素*/
 int i;
 Tbl->Element[0] = K; /*建立哨兵*/
 for(i = Tbl->Length; Tbl->Element[i]!= K; i--);
 return i; /*查找成功返回所在单元下标；不成功返回0*/
}

顺序查找算法的时间复杂度为O(n)。

方法2：二分查找（Binary Search)
假设n个数据元素的关键字满足有序（比如：小到大）并且是连续存放（数组），那么可以进行二分查找。

int BinarySearch ( StaticTable * Tbl, ElementType K)
{ /*在表Tbl中查找关键字为K的数据元素*/
 int left, right, mid, NoFound=-1;
 left = 1; /*初始左边界*/
 right = Tbl->Length; /*初始右边界*/
 while ( left <= right )
 {
 mid = (left+right)/2; /*计算中间元素坐标*/
 if( K < Tbl->Element[mid]) right = mid-1; /*调整右边界*/
 else if( K > Tbl->Element[mid]) left = mid+1; /*调整左边界*/
 else return mid; /*查找成功，返回数据元素的下标*/
 }
 return NotFound; /*查找不成功，返回-1*/
}

二分查找算法具有对数的时间复杂度O(logN)。

判定树上每个结点需要的查找次数刚好为该结点所在的层数；
查找成功时查找次数不会超过判定树的深度；
n个结点的判定树的深度为[log₂n]+1.
ASL = (44+43+2*2+1)/11 = 3（平均查找长度）

树的定义

树（Tree）: n（n≥0）个结点构成的有限集合。
当n=0时，称为空树；
对于任一棵非空树（n> 0），它具备以下性质：
树中有一个称为“根（Root）”的特殊结点，用 r 表示；
其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T₁，T₂，… ，T_m，其中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的“子树（SubTree）”

子树是不相交的；
除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点；
一棵N个结点的树有N-1条边。
（树是保证结点连通的最小的一种连接方式。）

问：有一个m棵树的集合（也叫森林）共有k条边，问这m颗树共有多少个结点？
答：k+m

树的一些基本术语

1. 结点的度（Degree）：结点的子树个数
2. 树的度：树的所有结点中最大的度数
3. 叶结点（Leaf）：度为0的结点
4. 父结点（Parent）：有子树的结点是其子树的根结点的父结点
5. 子结点（Child）：若A结点是B结点的父结点，则称B结点是A结点的子结点；子结点也称孩子结点。
6. 兄弟结点（Sibling）：具有同一父结点的各结点彼此是兄弟结点。
7. 路径和路径长度：从结点n1到nk的路径为一个结点序列n1 , n2,… , nk, ni是 ni+1的父结点。路径所包含边的个数为路径的长度。
8. 祖先结点(Ancestor)：沿树根到某一结点路径上的所有结点都是这个结点的祖先结点。
9. 子孙结点(Descendant)：某一结点的子树中的所有结点是这个结点的子孙。
10. 结点的层次（Level）：规定根结点在1层，其它任一结点的层数是其父结点的层数加1。
11. 树的深度（Depth）：树中所有结点中的最大层次是这棵树的深度。

树的表示

儿子-兄弟表示法

typedef struct TNode *Position;
typedef Position BinTree; /* 二叉树类型 */
struct TNode{ /* 树结点定义 */
    ElementType Data; /* 结点数据 */
    BinTree Left;     /* 指向左子树 */
    BinTree Right;    /* 指向右子树 */
};

在用“儿子-兄弟”法表示的树中，如果从根结点开始访问其“次子”的“次子”，所经过的结点数与下面哪种情况一样？(注意:比较的是结点数,而不是路径)（C）
A.从根结点开始访问其“长子”的“长子”
B.从根结点开始访问其“长子”的“长子”的“长子”
C.从根结点开始访问其“长子”的“长子”的“长子”的“长子”
D.不能确定，要看具体树结构
（访问到次子：两个节点，再到次子的次子，又是两个节点。共4个节点。
A：长子的长子，两个节点。
B：三个节点。
C：四个节点。）

一棵度为m的树有n个节点。若每个节点直接用m个链指向相应的儿子，则表示这个树所需要的总空间是n*(m+1) (假定每个链以及表示节点的数据域都是一个单位空间).。当采用儿子/兄弟（First Child/Next Sibling）表示法时，所需的总空间是：（A）
A.3n
B.2n
C.nm
D.n(m-1)
（因为每个节点都得需要m个链来指向相应的儿子，再加上一共有n个节点，故一共有n*(m+1)个子节点。
现在考虑儿子/兄弟表示法，把n个节点串联起来，因为每个节点都有两个部分组成，一个是指向下一个兄弟节点，一个是指向子节点，所以在树中，这两个部分都是需要作为一个单位（即链）来存储的，加上n个节点本身，一共需要3n个空间。）