数据结构笔记6 二叉树及存储结构

二叉树的定义

二叉树T：一个有穷的结点集合。
这个集合可以为空
若不为空，则它是由根结点和称为其左子树T_L和右子树T_R的两个不相交的二叉树组成

二叉树具体五种基本形态：

二叉树的子树有左右顺序之分：

特殊二叉树
斜二叉树(Skewed Binary Tree)

完美二叉树(Perfect Binary Tree) 又称满二叉树(Full Binary Tree）

完全二叉树(Complete Binary Tree)
有n个结点的二叉树，对树中结点按从上至下、从左到右顺序进行编号，编号为i（1 ≤ i ≤ n）结点与满二叉树中编号为 i 结点在二叉树中位置相同。

二叉树几个重要性质

一个二叉树第 i 层的最大结点数为：2 _i-1，i ≥ 1。
深度为k的二叉树有最大结点总数为：2 _k-1，k ≥ 1。
对任何非空二叉树 T，若n0表示叶结点的个数、n2是度为2的非叶结点个数，那么两者满足关系n0= n2+1。

证明n0= n2+1：
n0+n1+n2-1= n0 * 0+n1 * 1+n2 * 2
n0-1=n2 得证

二叉树的抽象数据类型定义

类型名称：二叉树
数据对象集：一个有穷的结点集合。
若不为空，则由根结点和其左、右二叉子树组成。
重要操作有：
1、Boolean IsEmpty( BinTree BT )： 判别BT是否为空；
2、void Traversal( BinTree BT )：遍历，按某顺序访问每个结点；
3、BinTree CreatBinTree( )：创建一个二叉树。
常用的遍历方法有：
void PreOrderTraversal( BinTree BT )：先序----根、左子树、右子树；
void InOrderTraversal( BinTree BT )： 中序—左子树、根、右子树；
void PostOrderTraversal( BinTree BT )：后序—左子树、右子树、根
void LevelOrderTraversal( BinTree BT )：层次遍历，从上到下、从左到右

二叉树的存储结构

1. 顺序存储结构
   完全二叉树：按从上至下、从左到右顺序存储
   n个结点的完全二叉树的结点父子关系：
   非根结点（序号 i > 1）的父结点的序号是 i / 2;
   结点（序号为 i ）的左孩子结点的序号是 2i，（若2 i <= n，否则没有左孩子）;
   结点（序号为 i ）的右孩子结点的序号是 2i+1，（若2 i +1<= n，否则没有右孩子）;
   （一般二叉树也可以采用这种结构，但会造成空间浪费，所以一般用链表存储）

2. 链表存储

typedef struct TreeNode *BinTree;
typedef BinTree Position;
struct TreeNode{
ElementType Data;
BinTree Left;
BinTree Right;
}