最大子矩阵问题

【算法设计】最大子矩阵问题

出自http://www.cnblogs.com/JPAORM/archive/2012/04/23/2510005.html
一,最大子矩阵问题:
       给定一个n*n(0Example:
 0 -2 -7  0 
 9  2 -6  2 
-4  1 -4  1 
-1  8  0 -2 
其中左上角的子矩阵:
 9 2 
-4 1 
-1 8 
此子矩阵的值为9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。

  

二,分析       

子矩阵是在矩阵选取部份行、列所组成的新矩阵。

例如

A=\begin{bmatrix}     a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\     a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\    a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}  \end{bmatrix}
A[1,2; 1,3,4]=\begin{bmatrix}    a_{11} & a_{13} & a_{14} \\     a_{21} & a_{23} & a_{24}   \end{bmatrix}

它亦可用A(3;2)表示,显示除掉第3行和第2列的余下的矩阵。这两种方法比较常用,但还是没有标准的方法表示子矩阵。


以上为维基百科上给出的定义,感觉跟此题的定义不是一回事呢?


        我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵,然而一个n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2),显然此方法不可行。怎么使得问题的复杂度降低呢?对了,相信大家应该知道了,用动态规划。对于此题,怎么使用动态规划呢?

        请先参考-->最大子段和问题
        这个问题与最大子段有什么联系呢?

  

 假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵,如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始):

  | a11 …… a1i ……a1j ……a1n |
  | a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
  |  .     .     .    .    .     .    .          |
  |  .     .     .    .    .     .    .          |
  | ar1 …… ari ……arj ……arn    |
  |  .     .     .    .    .     .    .          |
  |  .     .     .    .    .     .    .          |
  | ak1 …… aki ……akj ……akn  |
  |  .     .     .    .    .     .    .          |
  | an1 …… ani ……anj ……ann |


 那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来,可以得到一个一维数组如下:
 (ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)
 由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子段和问题,到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。

三,源码

C++:

[html]  view plain copy print ?
  1. #include <iostream>  
  2. using namespace std;  
  3.   
  4. int maxSubArray(int a[],int n)  
  5. {  
  6.      int b=0,sum=a[0];  
  7.      for(int i=0;i<n;i++)  
  8.      {  
  9.        if(b>0)   
  10.           b+=a[i];  
  11.        else   
  12.           b=a[i];  
  13.        if(b>sum)  
  14.           sum=b;  
  15.      }  
  16.     return sum;    
  17. }  
  18. int maxSubMatrix(int array[][3],int n)  
  19. {  
  20.             int i,j,k,max=0,sum=-100000000;  
  21.             int b[3];  
  22.             for(i=0;i<n;i++)  
  23.             {  
  24.                   for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]  
  25.                   {  
  26.                         b[k]=0;  
  27.                   }  
  28.                   for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值  
  29.                   {  
  30.                         for(k=0;k<n;k++)  
  31.                         {  
  32.                               b[k]+=array[j][k];  
  33.                         }  
  34.                         max=maxSubArray(b,k);    
  35.                         if(max>sum)  
  36.                         {  
  37.                                 sum=max;  
  38.                         }  
  39.                   }  
  40.             }  
  41.             return sum;  
  42. }  
  43. int main()  
  44. {   
  45.     int n=3;  
  46.     int array[3][3]={{1,2,3},{-1,-2,-3},{4,5,6}};  
  47.                         
  48.     cout<<"MaxSum: "<<maxSubMatrix(array,n)<<endl;  
  49.               
  50.  }  


java:

[html]  view plain copy print ?
  1. import java.util.Scanner;  
  2. public class PKU_1050  
  3. {  
  4.      private int maxSubArray(int n,int a[])  
  5.       {  
  6.             int b=0,sum=-10000000;  
  7.             for(int i=0;i<n;i++)  
  8.             {  
  9.                   if(b>0)   
  10.                       b+=a[i];  
  11.                   else   
  12.                       b=a[i];  
  13.                   if(b>sum)  
  14.                      sum=b;  
  15.             }  
  16.             return sum;    
  17.       }  
  18.       private int maxSubMatrix(int n,int[][] array)  
  19.       {  
  20.             int i,j,k,max=0,sum=-100000000;  
  21.             int b[]=new int[101];  
  22.             for(i=0;i<n;i++)  
  23.             {  
  24.                   for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]  
  25.                   {  
  26.                         b[k]=0;  
  27.                   }  
  28.                   for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值  
  29.                   {  
  30.                         for(k=0;k<n;k++)  
  31.                         {  
  32.                               b[k]+=array[j][k];  
  33.                         }  
  34.                         max=maxSubArray(k,b);    
  35.                         if(max>sum)  
  36.                         {  
  37.                                 sum=max;  
  38.                         }  
  39.                   }  
  40.             }  
  41.             return sum;  
  42.       }  
  43.       public static void main(String args[])  
  44.       {  
  45.             PKU_1050 p=new PKU_1050();  
  46.             Scanner cin=new Scanner(System.in);  
  47.             int n=0;  
  48.             int[][] array=new int[101][101];  
  49.             while(cin.hasNext())  
  50.             {  
  51.                        n=cin.nextInt();     
  52.                        for(int i=0;i<n;i++)  
  53.                        {  
  54.                                   for(int j=0;j<n;j++)  
  55.                                   {  
  56.                                              array[i][j]=cin.nextInt();  
  57.                                   }  
  58.                        }  
  59.                        System.out.println(p.maxSubMatrix(n,array));  
  60.             }  
  61.       }  
  62. }  

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