动态规划---最大子段和，最大子矩阵和，最大m子段和
1、最大子段和问题
问题定义：对于给定序列a1,a2,a3……an,寻找它的某个连续子段，使得其和最大。如( -2,11,-4,13,-5,-2 )最大子段是{ 11,-4,13 }其和为20。
(1)枚举法求解
枚举法思路如下：
以a[0]开始: {a[0]}, {a[0],a[1]},{a[0],a[1],a[2]}……{a[0],a[1],……a[n]}共n个
以a[1]开始: {a[1]}, {a[1],a[2]},{a[1],a[2],a[3]}……{a[1],a[2],……a[n]}共n-1个
……
以a[n]开始:{a[n]}共1个
一共(n+1)*n/2个连续子段，使用枚举，那么应该可以得到以下算法：
具体代码如下：
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj);
int main()
{
int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};
for(int i=0; i<6; i++)
cout<sum)//求最大子段和
{
sum = thissum;
besti = i;
bestj = j;
}
}
}
return sum;
} #include
#include
#include
#include
using namespace std;
int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj);
int main()
{
int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};
for(int i=0; i<6; i++)
cout<sum)
{
sum = thissum;
besti = i;
bestj = j;
}
}
}
return sum;
} (2)分治法求解
分治法思路如下：
将序列a[1:n]分成长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n],分别求出这两段的最大字段和，则a[1:n]的最大子段和有三中情形：
[1]、a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同；
[2]、a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同；
[3]、a[1:n]的最大字段和为，且1<=i<=n/2,n/2+1<=j<=n。
可用递归方法求得情形[1],[2]。对于情形[3],可以看出a[n/2]与a[n/2+1]在最优子序列中。因此可以在a[1:n/2]中计算出，并在a[n/2+1:n]中计算出。则s1+s2即为出现情形[3]时的最优值。
#include
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#include
#include
using namespace std;
int MaxSubSum(int *a,int left,int right);
int MaxSum(int n,int *a);
int main()
{
int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};
for(int i=0; i<6; i++)
{
cout<0?a[left]:0;
}
else
{
int center = (left+right)/2;
int leftsum = MaxSubSum(a,left,center);
int rightsum = MaxSubSum(a,center+1,right);
int s1 = 0;
int lefts = 0;
for(int i=center; i>=left;i--)
{
lefts += a[i];
if(lefts>s1)
{
s1=lefts;
}
}
int s2 = 0;
int rights = 0;
for(int i=center+1; i<=right;i++)
{
rights += a[i];
if(rights>s2)
{
s2=rights;
}
}
sum = s1+s2;
if(sum 算法所需的计算时间T(n)满足一下递归式：
解此递归方程可知：T(n)=O(nlogn)。
(3)动态规划算法求解
算法思路如下：
记，则所求的最大子段和为：
由b[j]的定义知，当b[j-1]>0时，b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。由此可得b[j]的动态规划递推式如下：
b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},1<=j<=n。
#include
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using namespace std;
int MaxSum(int n,int *a);
int main()
{
int a[]={-2,11,-4,13,-5,-2};
for(int i=0; i<6; i++)
{
cout<0) b+=a[i];
else b=a[i];
if(b>sum)
sum=b;
}
return sum;
} 2、最大子矩阵和问题
(1)问题描述：给定一个m行n列的整数矩阵A，试求A的一个子矩阵，时期各元素之和为最大。
(2)问题分析：
用二维数组a[1:m][1:n]表示给定的m行n列的整数矩阵。子数组a[i1:i2][j1:j2]表示左上角和右下角行列坐标分别为(i1,j1)和(i2,j2)的子矩阵，其各元素之和记为：
最大子矩阵问题的最优值为。如果用直接枚举的方法解最大子矩阵和问题，需要O(m^2n^2)时间。注意到，式中，，设，则
容易看出，这正是一维情形的最大子段和问题。因此，借助最大子段和问题的动态规划算法MaxSum，可设计出最大子矩阵和动态规划算法如下:
#include
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#include
#include
using namespace std;
const int M=4;
const int N=3;
int MaxSum(int n,int *a);
int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N]);
int main()
{
int a[][N] = {{4,2,9},{1,3,8},{-3,-1,6},{0,-9,-5}};
for(int i=0; isum)
{
sum = max;
}
}
}
}
return sum;
}
int MaxSum(int n,int *a)
{
int sum1=0,b=0;
for(int i=0; i0)
{
b+=a[i];
}
else
{
b=a[i];
}
if(b>sum1)
{
sum1 = b;
}
}
return sum1;
}
3、最大m子段和问题
(1)问题描述：给定由n个整数(可能为负数)组成的序列a1,a2,a3……an,以及一个正整数m,要求确定此序列的m个不相交子段的总和达到最大。最大子段和问题是最大m字段和问题当m=1时的特殊情形。
(2)问题分析：设b(i,j)表示数组a的前j项中i个子段和的最大值，且第i个子段含a[j](1<=i<=m,i<=j<=n),则所求的最优值显然为。与最大子段问题相似，计算b(i,j)的递归式为：
其中，表示第i个子段含a[j-1],而项表示第i个子段仅含a[j]。初始时，b(0,j)=0,(1<=j<=n);b(i,0)=0,(1<=i<=m)。
#include
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using namespace std;
int MaxSum(int m,int n,int *a);
int main()
{
int a[] = {0,2,3,-7,6,4,-5};//数组脚标从1开始
for(int i=1; i<=6; i++)
cout<i)
{
b[i][j] = b[i][j-1] + a[j];//代表a[j]同a[j-1]一起，都在最后一子段中
for(int k=i-1; k 下面看图，红色数字为输入的序列：
优化一下：
1、沿着第m行的最后一个元素，往左上方向画一条线，线右上方的元素是没必要计算的
那么b[ i ][ j ] ，j++的时候，j的上限为 i + n - m 即可。
还有左下角那一半矩阵，也是不用计算的，因为1个数字不可能分为2个子段
2、每确定一个b[ i ][ j ]，只需用到本行和上一行，所以不用开维数组也可以，省内存。
开两个一维数组，pre和dp，pre记录上一行，dp记录当前行
3、再对上一行红圈中的数字找最大值时，若用一个循环来找，容易超时。
优化方法：在每次计算dp之前，同时记录下j前面的最大元素。
上述算法时间复杂度为O(m(n-m))，空间复杂度为O(n)。当m或n-m为常数时，时间复杂度和空间复杂度均为O(n)。
#include
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#include
using namespace std;
int max(int a,int b){
return a>b?a:b;
}
int MaxSum(int m,int n,int *a);
int main()
{
int a[] = {0,2,3,-7,6,4,-5};//数组脚标从1开始
int maxx=MaxSum(3,6,a);
printf("%d\n",maxx);
return 0;
}
int MaxSum(int m,int n,int *a)
{
if(n