数据结构（二）——时间复杂度+例子分析（相当清晰）

上一篇博客写到，评价算法优劣使用时间和空间复杂度去描述的，这一篇博客就写一下时间复杂度的有关内容

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时间复杂度定义

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在进行算法分析时，语句总的执行次数T（n）是关于问题规模n的函数，进而分析T（n）随n的变化情况并确定T（n）的数量级。时间复杂度记作：T(n)=O(f(n)).它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
 

发现官方定义极其高大上，换成大白话
算法主要是由输入输出语句，三大结构语句等组成的，大部分会有循环（局部性原理），随着某一个自变量（比如i）的值从最小值取到n，算法所有语句总的执行次数随着n的增大，会呈现一个关于n的函数关系即f(n)，经过大O表示法处理，得到T(n)=O(f(n));

 

大O表示法

1. 用常数1取代运行时间中的所有常数项
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的系数

大O表示法的由来
 下面举出三个算法n与f(n)的关系

可以从结果看出，在判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，更应该关注最高阶项的阶数

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举例：

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这四种情况基本涵盖了算法（程序）的时间复杂度分析的80%，二八定律嘛，咱们一个个来看
 

常数阶

看下面的例子

求出这个算法的时间复杂度

答案是O(1)

解释：
f(n)是指算法中所有语句的执行次数，便是f(n)=3，时间复杂度为O(f(n)),所以应该为O(3),可是答案为什么是O(1)呢？
这里就是大O表示的法第一条：用常数1取代运行时间中的所有常数项。那么问题又来了，为什么第一条这么定义呢？
咱们回归到定义：随着某一个自变量（比如i）的值从最小值取到n，算法所有语句总的执行次数随着n的增大，会呈现一个关于n的函数关系即f(n)，这里某一个自变量（比如i）的值从最小值取到n是指n的规模，与n的具体大小无关
 

线性阶（循环结构）

int i
for(i=0;i

此时时间复杂度便为O(n);

对数阶

看下列代码

时间复杂度答案为O(logn)

解释：
再回归之前的定义，这里某一个自变量（比如i）的值从最小值取到n是指n的规模，这里是指遍历，从最小值依次取到n，而这里由于count乘以2之后，就距离n更近了一些，有跳跃性，也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。
因为f(n)为总的执行次数，而这里的执行次数便为x，所以O(f(n))=O(x)=O(logn),到这里就有童鞋问了，

为什么时间复杂度不是以2为底的对数？
答案：因为在对数运算中有一个换底公式

log以c为底的2的对数，显然是一个常数，根据大O表示法的第三条：如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的系数，因此时间复杂度就变为O(以c为底的n的对数)，所以显然大O表示法对数阶跟底数没有关系
 

平方阶

int i
for(i=0;i

这里便是循环嵌套，两个循环之间没有什么关系，所以时间复杂度便为O（n2）;

 

总结：

至此时间复杂度大致的东西就总结完成了，有什么不妥的地方，还望大家斧正！