分块矩阵求行列式的一道题

P206 例17

• $A,B,C,D$都是数域上的$n$级矩阵
• $AC=CA$
• 证明：$$\left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right|=|AD-CB|$$

解

这道题特别骚，首先分两种情况讨论$\{\begin{array}{l}|A|̸=0\\ |A|=0\end{array}$
①$|A|̸=0$

• 对分块矩阵做初等变换：$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)\stackrel{②+(-C{A}^{-1})\cdot ①}{}\left(\begin{array}{cc}A& B\\ 0& D-C{A}^{-1}B\end{array}\right)$$
• 所以就有$$\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ -C{A}^{-1}& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ 0& D-C{A}^{-1}B\end{array}\right)$$
• 然后！！两边求行列式：$$\left|\begin{array}{cc}I& 0\\ -C{A}^{-1}& I\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& B\\ 0& D-C{A}^{-1}B\end{array}\right|$$ $\Rightarrow$ $$|I||I|\cdot \left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right|=|A||D-C{A}^{-1}B|$$ $\Rightarrow$ $$\left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right|=|AD-CB|$$
• 这里用到的思想是：
  • ①先对分块矩阵做初等行列变换，将其化为上下三角矩阵的等方便求行列式的矩阵；
  • ②再两边求行列式，初等行列变换矩阵的行列式都是$|I|$
  • ③以上说明：对分块矩阵仅做$P(i,j(k))$初等行列变换不改变矩阵的行列式，这个性质与一般矩阵一样，但做$P(i(k))$和$P(i,j)$变换就不一定咯

②$|A|=0$

这个处理特别骚！！主要思想就是通过一些变换使$|A|̸=0$,再用上面的处理方法得到结论

• 令$$A(t)=A-tI$$则$|A(t)|=|A-tI|$就是$t$的$n$次多项式，记作$f(t)$,于是有$f(0)=0$，且$f(t)$连续
• 由于$f(t)$是$n$次多项式，故在数域内它至多只有$n$个根
• 所以$\exists \delta >0$，使得$\forall t\in U^o(0,\delta )$，都有$$f(t)̸=0\Rightarrow |A(t)|̸=0$$
• 由①有$$\left|\begin{array}{cc}A(t)& B\\ C& D\end{array}\right|=|A(t)D-CB|$$ $\Rightarrow$ $$\underset{t\to 0}{\lim }\left|\begin{array}{cc}A(t)& B\\ C& D\end{array}\right|=\underset{t\to 0}{\lim }|A(t)D-CB|$$ $\Rightarrow$ $$\left|\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right|=|AD-CB|$$

是不是很牛！！设一个关于$A$的函数$A(t)$，再取极限简直绝了