二维数组最大子矩阵的求和

问题描述：已知一个n*n的二维数组a[n,n]，每个元素都是整数（可能小于0），求其子矩阵元素的最大和

 

问题分析：

这个问题来自一维数列最大子序列的求和问题，因此必须对一维数列最大子序列的求和有充分的了解才有讨论基础，不了解的请参考《编程珠玑》第8章或《算法导论》的有关章节。该文中给出了5种算法，其中算法1野蛮求和的复杂度为O(n^3)，算法2和算法3都利用了已有的计算结果减少重复计算其复杂度为O(n^2)，算法4采用分治算法复杂度为O(n*lg(n))，算法5采用扫描算法实现了O(n)的复杂度。

可以将一维数列的算法1直接扩展到二维，这样整个算法的复杂度将变成O(n^6)，原因：子矩阵左上角的位置有O(n^2)的可能，右下角的位置也有O(n^2)个可能，计算子矩阵的和也需要累加O(n^2)次，因此合计复杂度为O(n^6)。

我们也可以将算法3直接扩展到二维，预先将每一行的0..i的和保存个一个临时的二维数组中，将每一列的0..j的和也保存一个临时的二维数组中，这样就可以快速求出子矩阵的和，整个算法的复杂度为O(n^4)。

另外一个效率更高的方法是将算法3和算法5结合，首先求出每行的临时累加结果，记为t[i,j] = a[i,0]+a[i,1]+...+a[i,j])。然后针对每个(x,y)（x