Project Euler 182.yyt

Project Euler 182.yyt

暑假作业解题记录：第182题，RSA加密

• 数论知识基础
• python

---

目录

数论基础和RSA加密

RSA加密基于以下流程：
生成两个不同的素数p和q,计算n=pq以及 φ=(p−1)(q−1) φ = ( p − 1 ) ( q − 1 ) 。 找到整数e，满足 1<e<φ 1 < e < φ ,且 gcd(e,φ)=1 g c d ( e , φ ) = 1 。 RSA系统能加密的信息是区间[0,n-1]中的整数。因此，需要加密的文本首先需要转换成可加密的信息（即区间[0,n-1]内的某个整数）。
加密文本时，如果文本转换成的信息是m，则加密为 c=memodn c = m e m o d n 。解密文本时，需要以下流程： 计算d满足 ed=1modφ e d = 1 m o d φ , 如果加密的信息是c，则解密为 m=cdmodn m = c d m o d n 。 因此需要减少例如：m 使得 memodn=m m e m o d n = m 这样的未加密信息。

• 整理上述试子可得： me−1≡1modn（一） m e − 1 ≡ 1 m o d n （ 一 ） , 因为n=pq,且p和q为素数，有： me−1≡1modp（二） m e − 1 ≡ 1 m o d p （ 二 ） , me−1≡1modq（三） m e − 1 ≡ 1 m o d q （ 三 ）
• 根据书上定理可知：上述二试三试分别有（e-1,p-1）,(e-1,q-1)个解，因此一试有 （（e−1,p−1）+1）∗（(e−1,q−1)+1） （ （ e − 1 , p − 1 ） + 1 ） ∗ （ ( e − 1 , q − 1 ) + 1 ） 个解（加上0解）。所以只需求 （（e−1,p−1）+1）∗（(e−1,q−1)+1） （ （ e − 1 , p − 1 ） + 1 ） ∗ （ ( e − 1 , q − 1 ) + 1 ） 的最小值所对应的e相加即可。

代码

import gmpy2
p=1009
q=3643
fi=(p-1)*(q-1)
n=p*q
e=2
x=[]
#print n
while e>1 and eif gmpy2.gcd(e, fi)==1:
        b=(gmpy2.gcd(e-1, p-1)+1)*(gmpy2.gcd(e-1, q-1)+1)
        if b==9:
            print e
            x.append(e)        


    e=e+1
print sum(x)

---