机器人学笔记之——操作臂逆运动学：可解性

0. 概述

之前，我们讨论了正运动学的内容，从这里开始，我们就来开始看看逆运动学的东西。逆运动学回比正运动学复杂些许。所谓逆运动学就是已知工具坐标系相对于工作台坐标系的期望位姿，要求计算出一系列满足期望条件的关节角。

1. 可解性

求解操作臂逆运动学方程是个非线性的问题。我们已知

要求：

我们回顾一下之前的内容：
下面这个是之前求出来的PUMA560的正运动学方程，我们现在相当于把整个过程反过来了，左边的12个参数是已知的，只有六个关节角是未知的。

tip：二角公式

我们需要做的就是解方程的工作，话是这么说没错，但是做起来还是没那么简单，毕竟这些方程都是非线性的超越方程。那么如同其他非线性超越方程一样，我们都需要考虑他们的解的存在性、多重解性和求解方法

1.0 解的存在性

我们知道，方程存在无解的情况，在这种情况下，解是否存在取决于操作臂的工作空间，我们从直观上看就像下面这样，红色部分框起来的就是机械臂的工作空间，那么运动学方程的解就只在红色方框内才能找到。在红色方框之外的部分，运动学方程是无解的。
对工作空间严格的定义有两种：
1.灵巧工作空间：指机器人末端执行器能够从各个方向到达的区域
2.可达工作空间：指机器人末端执行器至少能从一个方向到达的区域

工作空间也取决于工具坐标系的变换，因为所讨论的工具端点一般就是我们所说的可达空间点。一般来说，工具坐标系的变换与操作臂的运动学和逆运动学无关，所以一般研究腕部坐标系{W}的工作空间。对于一个给定的末端执行器，定义工具坐标系{T}，给定目标坐标系{G}，去计算相应的坐标系{W}。

1.1 多重解问题

在求解时，我们很可能会遇到这样一种问题。就是多重解问题。比如一个具备三个旋转关节的平面操作臂，在没有任何障碍的情况下，可以从任意方位到达工作空间中的任意位置。因此具有较大的灵巧工作空间。

无论有几个解，我们始终只能从中挑选一个来作为最终的最优解。我们选取的标准是变换的，比如常见的最短行程。
一般来说，连杆的非零参数越多，达到某一特定目标的方式就越多，解就越多。

1.2 解法

与线性方程组不同，非线性方程组没有通用的解法。
通常我们分为封闭解法和数值解法两种大类
封闭解法：
也称解析解，就是根据严格的公式推导，给出任意的自变量就可以求出其因变量，也就是问题的解，然后可以利用这些公式计算相应的问题。是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。
数值解法：
数值解是采用某种计算方法，如有限元法， 数值逼近法，插值法等得到的解。别人只能利用数值计算的结果，而不能随意给出自变量并求出计算值。
当无法藉由微积分技巧求得解析解时，这时便只能利用数值分析的方式来求得其数值解了。在数值分析的过程中，首先会将原方程加以简化，以利于后来的数值分析。例如，会先将微分符号改为差分（微分的离散形式）符号等，然后再用传统的代数方法将原方程改写成另一种方便求解的形式。这时的求解步骤就是将一自变量带入，求得因变量的近似解，因此利用此方法所求得的因变量为一个个离散的数值，不像解析解为一连续的分布，而且因为经过上述简化的操作，其正确性也不如解析法可靠。