组队竞赛（优化问题）

来源：牛客网
组队竞赛

（从这里：）牛牛举办了一次编程比赛,参加比赛的有3*n个选手,每个选手都有一个水平值a_i.现在要将这些选手进行组队,一共组成n个队伍,即每个队伍3人.牛牛发现队伍的水平值等于该队伍队员中第二高水平值。（到这里都可以跳过不看）
例如:
一个队伍三个队员的水平值分别是3,3,3.那么队伍的水平值是3
一个队伍三个队员的水平值分别是3,2,3.那么队伍的水平值是3
一个队伍三个队员的水平值分别是1,5,2.那么队伍的水平值是2
为了让比赛更有看点,牛牛想安排队伍使所有队伍的水平值总和最大。
如样例所示:
如果牛牛把6个队员划分到两个队伍
如果方案为:
team1:{1,2,5}, team2:{5,5,8}, 这时候水平值总和为7.
而如果方案为:
team1:{2,5,8}, team2:{1,5,5}, 这时候水平值总和为10.
没有比总和为10更大的方案,所以输出10.

输入描述:

输入的第一行为一个正整数 n (1 ≤ n ≤ 10^5)
第二行包括 3 * n 个整数 a_i (1 ≤ a_i ≤ 10^9),表示每个参赛选手的水平值.

输出描述:

输出一个整数表示所有队伍的水平值总和最大值.

示例1

输入
2
5 2 8 5 1 5

输出

10

这道题是典型的优化类问题，需要我们对优化问题要有一些基本的了解（没有也没关系）。
首先我们先排除掉一些解，假设有 3n 个队员，要使得水平值最大，肯定要使得每个队伍中的第二高的值尽可能的大，那么，最菜的那 n 个人肯定不能作为某一个队的水平值，我们就先把这 n 个人排除掉。
既然要找出这 n 个人，不如先使用一下排序算法，将输入的 3n 个人按升序排列一下，排序完后我们可以将队员按水平三等分：

其中，“最菜的” 那一部分我们将他们每个队伍分一个，那么他们就不会成为水平值了，接下来我们对剩下的两部分进行讨论。
剩下的两部分中，要使水平值总和最大，肯定要尽可能的把大的值作为水平值。以下介绍两种思路，一种是迭代法，一种是贪心算法（或者说逆推法）。
思路1
我们先随便取一个解作为迭代的初始可行解，比如说每个队里分一个大佬一个中等的，这样初始解就是所有中等的队员水平的和，这显然不是最优解，我们随便找两个队伍，把这两个队伍中的大佬放在一队，这样的解就比原先的大：

这样，完成一趟交换后保证每个队伍中要么只有两个大佬，要么只有两个中等的。
再把大佬群和中等群分别两等分出大佬群和中等群并交换······这样细分下去，直到划分出的区间中只含有两个队员为止。这样操作下来的结果肯定是：最强大佬和次强大佬一组，比他俩次一点的两大佬一组······，也就是按之前排序好的队伍，从后往前，两两一队。

思路2
逆推法：在升序排列好的队列中，我们从后往前看，先取水平值最大的解，就是两最强大佬一组，两人中水平值较低的那个，就是我们能找到的最大的水平值；这两个大佬组好了，我们再往前看，按之前的规则找剩下的区间中的最大水平值······这样找完图中的区间后，可以得出和上面的相同的结果。

贪心算法那么唯一需要考虑的是：这个局部最优解会不会就是全局最优解，通过思路1我们可以知道，每次找出的最大水平值并不会干扰到下一次找最大水平值，也就是说，这一次找的最大水平值加下一次的最大水平值并不会比其他的选择小。因此，这种方法找出来的局部最优解就是全局最优解。

思路说完了，代码也很简单了，就是一趟排序，然后下标 i 从第 n 个人开始，每次 i + 2，累加求和，我们先写个代码试试：

#include 
#include  
using namespace std;

bool morebig(int i, int j) {return i < j;}

int main(){
    int n;
    int a[300000];
    while(cin >> n){
        int size = 3 * n;
        for(int i = 0;i < size;++i){
            cin>>a[i];
        }
        sort(a, a + size, morebig);
        int ret = 0;
        for(int i = n;i < size;i += 2){
            ret += a[i];
        }
        cout << ret << endl;
    }
    return 0;
}

虽然说按照题目的要求开辟了300000个int类型的数组，但是这可能会导致栈溢出，不过对于oj题影响不大。
然而代码提交后好像有一个测试用例没通过？
这就涉及到题目中的另一个坑了：题目先是保证了数据不会超过 3 * 10⁵ 个，然后说每个数据不会超过 10⁹ 大小，用一个int型接受一个数据完全没问题。但是题目的结果是所有水平值的和，也就是说我们输出的结果最大可能是 10¹⁴ ，这不是一个int型的变量能够承受的。于是将代码中的 “ret” 改成 long long 型数据试试：

#include 
#include  
using namespace std;

bool morebig(int i, int j) {return i < j;}

int main(){
    int n;
    int a[300000];
    while(cin >> n){
        int size = 3 * n;
        for(int i = 0;i < size;++i){
            cin>>a[i];
        }
        sort(a, a + size, morebig);
        long long ret = 0;	//防止结果溢出
        for(int i = n;i < size;i += 2){
            ret += a[i];
        }
        cout << ret << endl;
    }
    return 0;
}

这样提交后就没有问题了。