兔兔 的 总结 —— 图

图

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一. 什么是图 (graph)

1. 定义

某类具体事物和这些事物之间的联系。(说的有点抽象，不懂的读者就看概念吧)

2. 概念

是由一种由 顶点 $(Vertex)$ 非空有限集合 和 顶点之间边 $(Edge)$ 的集合 组成的数据结构，表示为 $G(V,E)$。(顶点 —— 具体事物，边 —— 具体事物之间的联系)

3. 图的种类

(1). 无向图

1>. 定义

边没有指定方向的图。

2>. 无向图的术语

• 两个顶点之间如果有边连接，那么就视为两个顶点 $相邻$ 。
• $路径$ ：相邻顶点的序列。
• $圈$ ：起点和终点重合的路径。
• $连通图$ ：任意两点之间都有路径连接的图。
• $度$ ：顶点连接的边数叫做这个顶点的度。
• $树$ ：没有圈的连通图。
• $森林$：没有圈的非连通图。

(2>. + 无向图的术语图)

• $1-2-3-4$ 是 $路径$
• $2-3-4-2$ 是 $圈$
• 节点的 $度$
  节点 $1$ 的 $度$ ：$2$个 $(2，5)$
  节点 $2$ 的 $度$ ：$4$个 $(1，3，4，5)$

(2). 有向图

1>. 定义

边具有指定方向的图。 (有向图中的边又称为弧，起点称为弧头，终点称为
弧尾)

2>. 有向图的术语

• 在有向图中，边是单向的：每条边所连接的两个顶点是一个有序对，他们的邻接性是单向的。
• $有向路径$ ：相邻顶点的序列。
• $有向环$ ：一条至少含有一条边且起点和终点相同的有向路径。
• $有向无环图$ $(DAG)$ ：没有环的有向图
• $度$：一个顶点的入度与出度之和称为该顶点的度。
• 1）$入度$：以顶点为弧头的边的数目称为该顶点的入度。
• 2）$出度$：以顶点为弧尾的边的数目称为该顶点的出度。

(2>. + 有向图的术语图)

• $1->3->5->6$ ：$有向路径$
• $1->3->4->1$ ：$有向环$
• $(3、4、5、6)$ ：$无环有向图$
• 节点 $1$ 的 $度$ ：$3$ 个 $(2，3，4)$
  节点 $1$ 的 $入度$ ：$1$个 $(4)$
  节点 $1$ 的 $出度$ ：$2$个 $(2，3)$

(1. 2. + 有向图和无向图的图片)

(3). 带权图

1>. 定义

边上带有权值的图。 (不同问题中，权值意义不同，可以是距离、时间、价格、代价等不同属性)

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二. 图的表示 (存储结构)

对于图的表示，常用的有两种：

• 邻接矩阵
• 邻接表

1. 邻接矩阵

(1). 定义

用二维数组储存点与点之间的关系。

1>. 无权值的情况

由于没有权值，我们可以用 bool数组 $G[i][j]$ 表示 $顶点i$ 是否能到达 $顶点j$。

• 如果 $顶点i$ 和 $顶点j$ 之间有边相连，$G[i][j]=1$
• 如果 $顶点i$ 和 $顶点j$ 之间无边相连，$G[i][j]=0$
  (对于无向图：如果 $顶点i$ 能到达 $顶点j$，那么 $顶点j$ 也能到达 $顶点i$ $G[i][j]=G[j][i]=1$)

2>. 有权值的情况

有权值的情况和无权值的情况类似：

• 只是 $G[i][j]$ 不再是 $bool类型$ 的，而是 $int$ 或者 $double$ $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$。
• 因为在带权图中初始化为 $0$，如果边不存在，则无法 与 权值为 $0$ 的情况分开，所以初始化的时候需要赋初值，一般是最大或最小。

3>. 优缺点

• 邻接矩阵的优点：可以在常数时间内判断两点之间是否有边存在。
• 邻接矩阵的缺点：表示稀疏图时，浪费大量内存空间。表示稠密图还是很划算。
  这时候就可以使用邻接表了

2. 邻接表

(1). 定义

通过把 " 从某个顶点出发有哪些顶点 " 这样的信息保存在链表中来表示图。
其实就是用 $vector<int>G[]$，用 $G[i][j]$ 来表示 $顶点i$ 到的 $第j个点$ 是 $哪一个顶点$。

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三. 图的遍历

1. 概念

从图中的某个顶点出发，按某种方法对图中的所有顶点进行访问 (每个顶点只访问一次)。
为了保证图中的顶点在遍历过程中仅访问一次，要为每一个顶点设置一个访问标志。

2. 方法

• $dfs$
• $bfs$

(1). $dfs$

1>. 概念

$深度优先搜索(Depth-FirstSearch)$ 遍历类似于树的** 先根遍历**，是树的先根遍历的推广。

• 假设初始状态是图中所有顶点未曾被访问，则深度优先搜索可从图中某个顶点 $v$ 出发，访问此顶点，然后依次从 $v$ 的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和 $v$ 有路径相通的顶点都被访问到；若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。

2>. 例子

此时得到顶点 $1$ 访问序列为：$v1->v2->v4->v8->v5(v2已经访问过了)->v3->v6->v7$

3>. 模板

兔兔还是给大家打了一个模板哦~：

#include 
#include 
using namespace std;

int V, E, S;
vector<int> G[105];
bool vis[105];

void addEdge(int v, int u)
{
	G[v].push_back(u);
	G[u].push_back(v); // 如果是有向图就不需要这一行了
}

void dfs(int v)
{
	vis[v] = 1;
	printf("%d ", v);
	int num = G[v].size();
	for(int i = 0; i < num; i++)
	{
		if (!vis[G[v][i]])
		{
			vis[G[v][i]] = 1;
			dfs(G[v][i]);
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d %d", &V, &E); // 输入 点的个数 和 边的个数
	for (int i = 1; i <= E; i++)
	{
		int A, B;
		scanf("%d %d", &A, &B); // 输入 A 和 B 之间有边相连
		addEdge(A, B);
	}
	scanf("%d", &S); // 输入源点
	dfs(S);
	return 0;
}

(2). $bfs$

1>. 概念

$广度优先搜索(Breadth-FirstSearch)$ 遍历类似于树的按 层次遍历 的过程。

• 假设从图中某顶点 $v$ 出发，在访问 $v$ 之后依次访问 $v$ 的各个未被访问过的邻接点，然后分别从这些邻接点出发依次访问它们的邻接点，并使“先被访问的顶点的邻接点”先于“后被访问的顶点的邻接点”被访问，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。换句话说，广度优先搜索遍历图的过程是以 $v$ 为起始点，由近至远，依次访问和 $v$ 有路径相通且路径长度为 $1$，$2$ $\dots$的顶点。

2>. 例子

此时有顶点 $1$ 开始遍历的过程：$v1->v2->v3->v4->v5->v6->v7->v8$

3>. 模板

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int V, E, S;
vector<int> G[105];
bool vis[105];

void addEdge(int u,int v)
{
	G[u].push_back(v);
	G[v].push_back(u);
}

void bfs(int v)
{
	queue<int> q;
	q.push(v);
	vis[v] = 1;
	printf("%d", v);
	while (!q.empty())
	{
		int now = q.front(), num = G[now].size();
		q.pop();
		for (int i = 0 ;i < num; i++)
		{
			if (!vis[G[now][i]])
			{
				printf(" %d", G[now][i]);
				vis[G[now][i]] = 1;
				q.push(G[now][i]);
			}
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d %d", &V, &E);
	for (int i = 1; i <= E; i++)
	{
		int A, B;
		scanf("%d %d", &A, &B);
		addEdge(A, B); 
	}
	scanf("%d", &S);
	bfs(S);
	return 0;
}

(3). 拓扑排序

• 对一个 $有向无环图(DirectedAcyclicGraph简称DAG)$ $G$ 进行拓扑排序，是将 $G$ 中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点 $u$ 和 $v$，若边 $<u,v>\in E(G)$ ，则 $u$ 在线性序列中出现在 $v$ 之前。通常，这样的线性序列称为满足 $拓扑次序(TopologicalOrder)$ 的序列，简称 $拓扑序列$。
• 简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为 $拓扑排序$。

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兔兔的总结就到这里结束啦~
如果有什么需要兔兔改进的地方，请读者 给兔兔私信 或者 在评论区留言 哦~