数论四大定理

1.威尔逊定理

p∣(p−1)!+1 p ∣ ( p − 1 ) ! + 1

即

(p−1)!≡p−1≡−1modpp为质数 ( p − 1 ) ! ≡ p − 1 ≡ − 1 mod p p 为 质 数

2.欧拉定理

aϕ(p)≡1modpgcd(a,p)=1(1) (1) a ϕ ( p ) ≡ 1 mod p gcd ( a , p ) = 1

an≡anmodϕ(p)+ϕ(p)modpgcd(a,p)≠1，n>ϕ(p)(2) (2) a n ≡ a n mod ϕ ( p ) + ϕ ( p ) mod p gcd ( a , p ) ≠ 1 ， n > ϕ ( p )

3.中国剩余定理

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x≡a1modm1x≡a2modm2x≡a3modm3⋮x≡anmodmn { x ≡ a 1 mod m 1 x ≡ a 2 mod m 2 x ≡ a 3 mod m 3 ⋮ x ≡ a n mod m n

gcd(mi,mi)=1i≠j,i,j∈{1,2,3…n} gcd ( m i , m i ) = 1 i ≠ j , i , j ∈ { 1 , 2 , 3 … n }

解法：

MMitix=∏i=1nmi=M/mi≡1/Mimodmi≡（∑i=1naitiMi）modM M = ∏ i = 1 n m i M i = M / m i t i ≡ 1 / M i mod m i x ≡ （ ∑ i = 1 n a i t i M i ） mod M

4.费马小定理

ap−1≡1modpp为质数 a p − 1 ≡ 1 mod p p 为 质 数

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