施托尔茨定理

定理描述：

　　若

1. $y_{n+1}>y_n   (n=1,2,\cdots)$
2. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_n=+\infty$
3. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$存在

则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$

证：假定$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=a$由此，并注意到$y_n\rightarrow +\infty$，可知，对于任给的$\varepsilon >0$，存在正整数N，使当n>N时恒有

　　$\mid \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}-a\mid <\frac{\varepsilon}{2} （且y_n>0）$

于是，分数（当n>N时）

　　$\frac{x_{N+2}-x_{N+1}}{y_{N+2}-y_{N+1}},\frac{x_{N+3}-x_{N+2}}{y_{N+3}-y_{N+2}}\cdots ,\frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}},\frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}$

都包含在$(a-\frac{\varepsilon}{2},a+\frac{\varepsilon}{2})$之间（由极限的定义可直接得出），因为$y_{n+1}>y_n$，所以这些分数的分母都是正数，于是，得

　　$(a-\frac{\varepsilon}{2})(y_{N+2}-y_{N+1})　　$(a-\frac{\varepsilon}{2})(y_{N+3}-y_{N+2})　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\vdots$
　　$(a-\frac{\varepsilon}{2})(y_{n+1}-y_{n})

相加之，得

　　$(a-\frac{\varepsilon}{2})(y_{n+1}-y_{N+1})

即$a-\frac{\varepsilon}{2}<\frac{x_{n+1}-x_{N+1}}{y_{n+1}-y_{N+1}}N时，恒有$\mid \frac{x_{n+1}-x_{N+1}}{y_{n+1}-y_{N+1}}-a\mid <\frac{\varepsilon}{2}$(注意N是确定的).另外我们有(当n>N时)

　　$\frac{x_n}{y_n}-a=\frac{x_{N+1}-ay_{N+1}}{y_n}+(1-\frac{y_{N+1}}{y_n})(\frac{x_{n+1}-x_{N+1}}{y_{n+1}-y_{N+1}}-a)$,

　　故$\mid \frac{x_n}{y_n}-a\mid \leq\mid \frac{x_{N+1}-ay_{N+1}}{y_n}\mid +\frac{\varepsilon}{2}$,

现取正整数N'>N，使当n>N'时，恒有

　　$\mid \frac{x_{N+1}-ay_{N+1}}{y_n}\mid <\frac{\varepsilon}{2}$,

于是，当n>N'时，恒有$\mid \frac{x_n}{y_n}-a\mid <\varepsilon$.

由此可知，$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{x_n}{y_n}=a=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$.证毕.

注:条件3中换为$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=+\infty(或-\infty)$.，则结论任然成立（也就是极限都不存在）

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