最长单调上升子序列(LIS) O(nlogn)求法

常规的dp求LIS的时间复杂度为O(n²)，对于n比较大的时候这是不能接受的。这时候我们就需要一个优秀的O(nlogn)的算法了。

这个算法是基于贪心的思想，具体来说就是开一个序列数组b，记录已经求得的“最长上升子序列”，当扫到一个元素大于序列b的最后一个元素时，就直接将扫到的元素加入序列b，否则就在b数组中二分查找第一个大于扫到的元素的元素，将其替换，因为这样序列的“潜力值”更大。

假设我们有一个序列{1，8，3，7，11，6，9，10}。
初始化b数组的第0个元素小于序列中的最小元素（比如0或-1，上次就被这个坑了）。
　　扫描到值1，1大于b中第0个元素，此时b为{1}
　　扫描到这8，8大于b末尾元素，此时b为{1，8}
　　扫描到3，3小于b末尾元素，二分查找替换掉8，此时b为{1，3}
　　扫描到7，直接加入，此时b为{1，3，7}
　　扫描到11，直接加入，此时b为{1，3，7，11}
　　扫描到6，小于末尾元素，二分查找替换掉7，此时b为{1，3，6，11}（此时b并不是按照a中的顺序来了）
　　扫描到9，小于末尾元素，二分查找替换掉11，此时b为{1，3，6，9}
　　扫描到10，直接加入，此时b为{1，3，6，9，10}

看完举的栗子，相信大家都多多少少明白，b中不一定记录的是a的单调上升序列，但是b数组的长度就是最长单调上升序列的长度了。

这里以POJ Longest Ordered Subsequence给出代码：

 1 #include
 2 #include
 3 #include
 4 using namespace std;
 5 
 6 int a[1001],b[1001];
 7 
 8 int n,len;
 9 int main(){
10     b[0]=-1;
11     scanf("%d",&n);
12     for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
13     for(int i=1;i<=n;++i){
14         if(a[i]>b[len]){
15             b[++len]=a[i];
16         }else{
17             int k=lower_bound(b+1,b+1+len,a[i])-b;
18             b[k]=a[i];
19         }
20     }
21     cout<<len;
22     return 0;
23 }

 

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