杂题收录+简要题解4

hdu 6868 Absolute Math

令 $f(n)={\sum }_{d|n}|\mu (d)|$。每次给定 $n,m$，求$$\sum _{i=1}^{m}f(ni)$$

$n,m\le 10^7,T\le 10^4$

注意到 $f(n)=2^{\omega (n)}$，其中 $\omega (n)$ 表示 $n$ 的素因数个数。那么 $f(ni)=\frac{f(n)f(i)}{f(\gcd (n,i))}$。若令 $g=\frac{1}{f}\times \mu$，其中 $\times$ 表示迪利克雷卷积，那么$$f(ni)=\frac{f(n)f(i)}{f(\gcd (n,i))}=f(n)f(i)\sum _{d|n,d|i}g(d)$$

答案就等于$$f(n)\sum _{d|n}g(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }f(di)$$

可以先把 $f,g$ 通过线性筛求出，然后离线按 $m$ 从小到大来维护最后一个求和式，就只需要 $O(n)$ 的空间复杂度，时间复杂度为 $O(n\log n+\sum {\sigma }_0(n))$。