Group 是抽象代数（Abstract Algebra），也叫做近世代数（Modern Algebra）中的一种，其他的 Abstract Algebra 有：rings, fields, modules, vector spaces, lattices, and algebras
对 Group theory 的一个极简介绍：
https://www.youtube.com/watch?v=ylAXYqgbp4M
Abstract Algebra 的一个介绍：
https://www.youtube.com/watch?v=IP7nW_hKB7I
Group 的概念引发自多项式方程的研究，由 Évariste Galois 在18世纪30年代开创。在得到来自其他领域如数论和几何学的贡献之后，群概念在1870年左右形成并牢固建立。现代群论是非常活跃的数学学科，它以自己的方式研究群。为了探索群，数学家发明了各种概念来把群分解成更小的、更好理解的部分，比如置换群、子群、商群和单群等。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用
Galois 是一个极具传奇性的人物，年仅21岁就英年早逝于一场近乎自杀的决斗中。Galois 创立和运用 Galois group，彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论。在世时在数学上研究成果的重要意义没被人们所认识，曾呈送科学院3篇学术论文，均被退回或遗失
四条基本定理
Group 的历史和四条基本定理的介绍：
https://www.youtube.com/watch?v=g7L_r6zw4-c
A group is a set, G, together with an operation • (called the group law of G) that combines any two elements a and b to form another element, denoted a • b or ab. To qualify as a group, the set and operation, (G, •), must satisfy four requirements known as the group axioms:
Closure: （封闭的）
For all a, b in G, the result of the operation, a • b, is also in G.Associativity: （操作顺序可换）
For all a, b and c in G, (a • b) • c = a • (b • c).Identity element: （有一个唯一存在的元状态）
There exists an element e in G such that, for every element a in G, the equation e • a = a • e = a holds. Such an element is unique (see below), and thus one speaks of the identity element.Inverse element: （通过操作可以回到元状态）
For each a in G, there exists an element b in G, commonly denoted a−1 (or −a, if the operation is denoted "+"), such that a • b = b • a = e, where e is the identity element.
群的置换（permutations on a set）
群的置换（permutations on a set）是一个函数，一种操作
将一个群里面的数据进行变化的各种过程，比如整数的（+1 和 -1），三角形的（右转120度，中轴旋转）等等的可能操作，这些操作，称为「置换」
对置换的一个介绍：
https://www.youtube.com/watch?v=3aNeCWRjh8I
有限群
有限群是具有有限多个元素的群。
群的阶（Order of a Group）
一个群所含元素的个数（也称为势），称为有限群的阶。一个群G的阶被标记为ord(G) 或 |G|
置换群（Permutation Group）
一种特殊的群，一个角上标着1、2、3、4的正方形，通过旋转90度翻转等，一共可以的到8种情况，这8种情况就构成一个置换群
一类具体的有限群。有限集合Ω上的一些置换组成的集合，在置换的乘法下所组成的群，称为置换群。
一个置换群的介绍：
https://www.youtube.com/watch?v=f-EAsI8eT6Y
置换群研究过程中的写法，挺有趣的：
对称群（Gymmetric Group）
对称群，是指有 n 个元素的群的可能的转换方式，所有的可能转换方式构成的群，称为对称群
阶（Order）
一个群的阶
一个群的阶是指其势，即其元素的个数，一个群G的阶被标记为ord(G) 或 |G|
一个群元素的阶：
一个群元素的阶是指群里面的这个元素经过多少次平方之后，可以成为这个群的 Identity Element（平方只是实数、复数、矩阵等才有的概念，所以貌似「一个群元素的阶」并不具有广泛的意义）
任何群的 Identity Element 都等于 1
一个群元素的阶的一个介绍视频：
https://www.youtube.com/watch?v=OWTKYLAEYvY
群的交换性
如果群里面的两个操作在交换以后是等价的（g * f = f * g），那我们就可以将其称为一个交换群（commutative group），或者 Abelian group，如果是不等价的（g * f ≠ f * g），则称为非交换（noncommutative group），或者 Non-abelian group
笔记
J.S. Milne 数十年的教学笔记，可以作为以后深入时候的参考，J.S. Milne 希望内容不超过200页：
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/index.html