LFSR及小m序列

1 LFSR

线性反馈移位寄存器。

其结构如图所示：

一般地，$r$级线性反馈移位寄存器惟一地表达为次幂的多项式$G(x)$：

$$\mathbf{G}(\mathbf{x})=\sum _{i=0}^r{\mathbf{g}}_i{\mathbf{x}}^i,{\mathbf{g}}_0={\mathbf{g}}_r=1$$

比如，下图的LFSR可以表示成$G(x)=x^4+x^3+1$。

2 $m$序列

一个$r$级二进制移位寄存器最多可以取$2^r$个不同的状态。对于线性反馈（模二加运算），其中全零状态将导致反馈始终为零，成为一个全零状态死循环。如果剩余的$2^{r-1}$个状态构成一个循环，即该循环以$N=2^{r-1}$为周期，则称该循环输出序列为最大周期线性移位寄存器序列（简称$m$序列)。

能够产生$m$序列的充要条件是其特征多项式必须为本原多项式（primitive polynomial ）。

3 本原多项式

各个教科书里面都有本原多项式表。下表是从Matlab的帮助文档里面截图下来的。