快速数论变换（NTT）

FFT的复数精度问题让我很不爽，算法导论上确实提了一下可以用数论的方法实现傅立叶变换，可是我一直不知道怎么搞，现在终于找到了质料

以下内容转自ACdreamers （http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/39026505）

在上一篇文章中 http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/39005227 介绍了用快速傅里叶变

换来求多项式的乘法。可以发现它是利用了单位复根的特殊性质，大大减少了运算，但是这种做法是对复数系数的矩阵

加以处理，每个复数系数的实部和虚部是一个正弦及余弦函数，因此大部分系数都是浮点数，我们必须做复数及浮点数

的计算，计算量会比较大，而且浮点数的计算可能会导致误差增大。

 

今天，我将来介绍另一种计算多项式乘法的算法，叫做快速数论变换（NTT），在离散正交变换的理论中，已经证明在

复数域内，具有循环卷积特性的唯一变换是DFT，所以在复数域中不存在具有循环卷积性质的更简单的离散正交变换。

因此提出了以数论为基础的具有循环卷积性质的快速数论变换。

 

回忆复数向量，其离散傅里叶变换公式如下

 

   

 

离散傅里叶逆变换公式为

 

   

 

今天的快速数论变换（NTT）是在上进行的，在快速傅里叶变换（FFT）中，通过次单位复根来运算的，即满

足的，而对于快速数论变换来说，则是可以将看成是的等价，这里是模素数

的原根（由于是素数，那么原根一定存在）。即

 

        

 

所以综上，我们得到数论变换的公式如下

 

    

 

而数论变换的逆变换公式为

 

    

 

这样就把复数对应到一个整数，之后一切都是在系统内考虑。

 

上述数论变换（NTT）公式中，要求是素数且必须是的因子。由于经常是2的方幂，所以可以构造形

如的素数。通常来说可以选择为费马素数，这样的变换叫做费马数数论变换。

 

这里我们选择，，这样得到模的原根值为。

 

 

题目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1028

 

分析：题目意思就是大数相乘，此处用快速数论变换（NTT）实现。

 

代码：

 #include
 #include
 #include

 using namespace std;
 typedef long long LL;

 const int N = 1 << 18;
 const int P = (479 << 21) + 1;
 const int G = 3;
 const int NUM = 20;

 LL  wn[NUM];
 LL  a[N], b[N];
 char A[N], B[N];

 LL quick_mod(LL a, LL b, LL m)
 {
     LL ans = 1;
     a %= m;
     while(b)
     {
         if(b & 1)
         {
             ans = ans * a % m;
             b--;
         }
         b >>= 1;
         a = a * a % m;
     }
     return ans;
 }

 void GetWn()
 {
     for(int i=0; i
     {
         int t = 1 << i;
         wn[i] = quick_mod(G, (P - 1) / t, P);
     }
 }

 void Prepare(char A[], char B[], LL a[], LL b[], int &len)
 {
     len = 1;
     int len_A = strlen(A);
     int len_B = strlen(B);
     while(len <= 2 * len_A || len <= 2 * len_B) len <<= 1;
     for(int i=0; i
         A[len - 1 - i] = A[len_A - 1 - i];
     for(int i=0; i
         A[i] = '0';
     for(int i=0; i
         B[len - 1 - i] = B[len_B - 1 - i];
     for(int i=0; i
         B[i] = '0';
     for(int i=0; i
         a[len - 1 - i] = A[i] - '0';
     for(int i=0; i
         b[len - 1 - i] = B[i] - '0';
 }

 void Rader(LL a[], int len)
 {
     int j = len >> 1;
     for(int i=1; i
     {
         if(i < j) swap(a[i], a[j]);
         int k = len >> 1;
         while(j >= k)
         {
             j -= k;
             k >>= 1;
         }
         if(j < k) j += k;
     }
 }

 void NTT(LL a[], int len, int on)
 {
     Rader(a, len);
     int id = 0;
     for(int h = 2; h <= len; h <<= 1)
     {
         id++;
         for(int j = 0; j < len; j += h)
         {
             LL w = 1;
             for(int k = j; k < j + h / 2; k++)
             {
                 LL u = a[k] % P;
                 LL t = w * (a[k + h / 2] % P) % P;
                 a[k] = (u + t) % P;
                 a[k + h / 2] = ((u - t) % P + P) % P;
                 w = w * wn[id] % P;
             }
         }
     }
     if(on == -1)
     {
         for(int i = 1; i < len / 2; i++)
             swap(a[i], a[len - i]);
         LL Inv = quick_mod(len, P - 2, P);
         for(int i = 0; i < len; i++)
             a[i] = a[i] % P * Inv % P;
     }
 }

 void Conv(LL a[], LL b[], int n)
 {
     NTT(a, n, 1);
     NTT(b, n, 1);
     for(int i = 0; i < n; i++)
         a[i] = a[i] * b[i] % P;
     NTT(a, n, -1);
 }

 void Transfer(LL a[], int n)
 {
     int t = 0;
     for(int i = 0; i < n; i++)
     {
         a[i] += t;
         if(a[i] > 9)
         {
             t = a[i] / 10;
             a[i] %= 10;
         }
         else t = 0;
     }
 }

 void Print(LL a[], int n)
 {
     bool flag = 1;
     for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
     {
         if(a[i] != 0 && flag)
         {
             printf("%d", a[i]);
             flag = 0;
         }
         else if(!flag)
             printf("%d", a[i]);
     }
     puts("");
 }

 int main()
 {
     GetWn();
     while(scanf("%s%s", A, B)!=EOF)
     {
         int len;
         Prepare(A, B, a, b, len);
         Conv(a, b, len);
         Transfer(a, len);
         Print(a, len);
     }
     return 0;
 }