多重背包

单调队列基本忘光了 所以坑以后再填

先把二进制优化的复习掉吧 而且常数小也不比单调队列慢多少

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【极不建议作为入门教程使用】

多重背包最直接的做法就是暴力拆物品，暴力算01背包
但事实上用二进制拆分的方式，数量为 $s$ 的物品拆成约 $\log s$ 件物品就够了
比如 $1,2,4,8,16$ 在每个数最多用一次的前提下，就可以组合出 $1\sim 31$ 的所有情况
又比如对于 $s=34$ 件的情况，我们就可以用 $1,2,4,8,16,3$ 这六种物品代替
也不是非要这样 只要能表示出来并且复杂度正确，怎么方便就怎么写

所以还是存个板子就完事了

板子题：洛谷P1776 宝物筛选

代码：

#include
int n,m,v,w,c,v1,w1,f[40010];
inline int max(int x,int y) { return (x>y?x:y); }
int main() {
	for (scanf("%d%d",&n,&m); n; --n) {
		scanf("%d%d%d",&v,&w,&c);
		for (int j=1; j<=c; j<<=1) {
			v1=v*j,w1=w*j,c-=j;
			for (int k=m; k>=w1; --k)
				f[k]=max(f[k],f[k-w1]+v1);
		}
		v*=c,w*=c;
		for (int k=m; k>=w; --k)
			f[k]=max(f[k],f[k-w]+v);
	}
	printf("%d\n",f[m]);
	return 0;
}

时间复杂度 $\Theta (nm\log c)$ ，空间复杂度 $\Theta (m)$

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