费蜀定理（贝祖定理）证明与应用

定理

对于给定的正整数 $a,b$，方程 $ax+by=c$ 有解的充要条件为 $c$ 是 $\text{gcd(a, b)}$ 的整数倍。

证明

1. 充分性证明：
   设 $\gcd (a,b)=d,a=k1\times d,b=k2\times d,c=k3\times d$，其中 $k1,k2$ 互质。
   原等式等价于 $k1\times d\times x+k2\times d\times y=k3\times d$，
   即 $k1\times x+k2\times y=k3$，其中 $k1,k2$ 互质。
   那么这个方程等价于模线性方程 $k1\times x\equiv k3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k2)$。
   由 $\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}$ 知，该方程一定有解，那么该方程的一组解即为原方程的解。

2. 必要性证明：
   采用反证法，假设 $c$ 不是 $\gcd (a,b)$ 的倍数。
   设 $a=k1\times d,b=k2\times d,c=k3\times d+c’$ ，
   那么 $k1\times d\times x+k2\times d\times y=k3\times d+c’$ 。
   两边同时除以 $d$ ，有：$k1\times x+k2\times y=k3+\frac{c’}{d}$ 。
   由于 $k1,x,k2,y,k3$ 均为整数，而 $\frac{c’}{d}$ 显然不是整数，故原方程无解。
   这与方程有解矛盾，故 $c$ 一定为 $\gcd (a,b)$ 的倍数。

推广

对于方程 $ax+by+cz+\cdots +nm=f$（其中 $a,b,c,\dots ,n,f$ 为整数），
它有整数解的充要条件是 $f$ 为 $\text{gcd}(a,b,c,\dots ,n)$ 的整数倍。
证明方法类似原定理的证明，在这里不再赘述。

应用

给定一个序列 $\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$ ，求一个整数序列 $\{b_1,b_2,\dots ,b_n\}$ ，使得 $\sum _{i=1}^n{a}_i\times b_i$ 的值最小（要求最小值为正数），求这个最小值。

根据裴蜀定理的推广，原式最小值即为 $\text{gcd}(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 。

例题，套上面那个式子就行啦~