斐波那契数列

序言

在网易公开课《麻省理工-算法导论》的视频课程中，分治算法讲解了斐波那契数列。对于斐波那契数列，简单来看，不就是一个简简单单的计算吗，好像也没有什么深度，但是从应用和算法上开仔细琢磨，还是有很多有意思的地方。

斐波那契作为模型

斐波那契最重要的当然是应用，作为一些应用的模型。最常见的是动态规划中的应用，例如最经典的上楼梯的例子，有N阶楼梯，一个小朋友上楼，他只能一次走一阶或者走两阶，问有多少种不同的走法。

对于这个题目，是可以比较自然的联想到用动态规划的思路的，从最后一阶考虑，到达最后一阶可以有走一步到达或者走两步到达两种方式，所以f(n) = f(n-1) + f(n-2)。很明显，这就是一个斐波那契数列，得到了动态规划公式，按照动态规划的思路继续完成编码。

斐波那契的计算

递归

先用代码描述:

def fib(n):
  if n <= 1: return 1
  return fib(n-1) + fib(n-2)

这个算法通过递归树分析，其计算复杂度T(n) = O(2^n)

按照这个思路继续，怎么提升效率，因为递归树展开后有大量的重复计算，所以考虑进行缓存，缓存后其时间复杂度T(n) = O(n)，而空间复杂度由O(1)上升到O(n)

from functools import lru_cache
@lru_cache(maxsize=1000)
def fib(n):
  if n <= 1: return n
  return fib(n-1) + fib(n-2)

这里直接使用lru_cache缓存，但是这里maxsize需要设置的和n一样大才能达到O(n)的复杂度。

迭代

在SICP的第一章中，讲解了fib的计算，所有能够用递归（recursion）完成的，都可以用迭代（iteration）的方式完成。
代码如下:

def fib(n):
   if n <= 1: return n
   a, b = 0, 1
   for k in range(2, n):
        a, b = b, a + b 
   return b          

这个算法时间复杂度是T(n) = O(n)，比上述缓存的算法节省了空间复杂度O(n)，肯定是优于递归的做法的。

通项公式

通项公式是从数学的角度来发掘的

image.png

这个通项公式好像挺牛逼的，从字面上看是T(n) = O(n)的时间复杂度，但是为何很少用，主要是因为这里有浮点数计算，浮点数计算CPU指令速度是小于整数加法计算的，肯定是没有迭代的方式计算的快。那么还有没有更好一点的做法呢。

矩阵

回到序言中，麻省理工的公开课中，讲解的就是矩阵的做法。离散数学中，矩阵是基本的工具，是集合关系的一种表示。
斐波那契公式，通过矩阵形式表达

image.png

继续推导可以得到

image.png

通过上述推导，斐波那契数列转换成了矩阵的阶乘计算

按照这个思路进一步的优化，阶乘有阶乘的优化，可以提前把2次方、n次方计算出来缓存起来，这样可以节省计算，获取更高更快性能。

小结

一个简单的斐波那契数列，演变出来真是让人惊叹，从数学的角度，有演变出通项公式和矩阵的算法，实际上递归和迭代是最基础的数学了。我们得出两个结论，一是数学是算法的基础，而是学习算法很有趣。