FCS NOI2018 DAY1（数论）

数论与组合数学基础

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数论基础

整除： a整除b 记做a|b
因数与倍数： a|b即a是b的因数，b是a的倍数
带余除法： 对于整数a，b（b！=0），设a除以b的商为q，余数为r，则a=bq+r，q，r为整数且0≤r≤|b|
模： a除以b余数为r，记为a modb = r
同余： a，b模p同余即a，b除以p的余数相同，记做a≡b（mod p）

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类比十进制运算个位数的规律，不难发现：
(amodp±bmodp)modp=(a±b)modp ( a m o d p ± b m o d p ) m o d p = ( a ± b ) m o d p
(amodp)(bmodp)modp=abmodp ( a m o d p ) ( b m o d p ) m o d p = a b m o d p
注意C++的取模和取余是不一样的，C++的取模是保留符号
的，如(−4) mod 3 = 2，但C++中(-4)%3=-1

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质数：正因数只包含1和它本身的正整数（2,3,5,7···）
合数：正因数包含除1和它本身外的数的正整数
（4,6,8,9···）

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筛质数

1.暴力枚举

枚举i=1，2，……，n 判断i是否包含【2,√i】内的因数（因数集合具有对称性） 效率太低，考虑改进！！！！

2.一种筛（不知道叫啥）

枚举正整数a,b ≥ 2且ab ≤ n，将ab标记为合数

3.埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛法）：

优化：只要枚举a为质数的ab

4.线性筛：

性筛法基本思想：每个数只被最小的质因子筛一次，即对
于a是质数，b的最小质因子不小于a的整数对a,b，标记ab为合数
实现：先枚举b，再枚举a，枚举到a|b时结束

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质数分布定理：π(n) ∼n/lnn ，π(n)为n以内质数个数
所以存放质数的数组可以开小一些

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给定正整数n ≤ 10 7 ，求n的质因数分解式

O(n)预处理n以内质数，同时预处理每个合数x的最小质因
子p x
每次分解不断将n提取一个p x
由于每提取一个质因子n就会减半，单次分解复杂
度O(logn)

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最小公倍数与最大公约数

a,b的最大公因数为最大的正整数c，c|a且c|b，记
作c = gcd(a,b)或c = (a,b)，特别地(a,0) = (0,a) = 0

a,b的最小公倍数为最小的正整数c，a|c且b|c，记
作c = lcm(a,b)或c = [a,b]
性质：

(a,b) = (a,b ± a)

(a,b) · [a,b] = ab

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给定正整数a 0 ,a 1 ,b 0 ,b 1 ，求有多少个正整数x满足：
1. x和a 0 的最大公约数是a 1
2．x和b 0 的最小公倍数是b 1
不超过2000组数据，a 0 ,a 1 ,b 0 ,b 1 ≤ 2 × 10 9

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原根

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常用的数论函数

注意！！！

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欧拉函数

容斥原理

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莫比乌斯函数

莫比乌斯反演