【NOIP2006】金明的预算方案

题面

【问题描述】

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有0个、1个或2个附件。附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是10元的整数倍）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第j件物品的价格为 vj ，重要度为 wj ，共选中了k件物品，编号依次为 j1，j2，……，jk ，则所求的总和为：

vj1∗wj1+vj2∗wj2+…+vjk∗wjk

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

【输入文件】

输入文件budget.in 的第1行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m
（其中N（<32000）表示总钱数，m（<60）为希望购买物品的个数。）
从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有3个非负整数 v p q（其中v表示该物品的价格（v<10000），p表示该物品的重要度（1~5），q表示该物品是主件还是附件。如果q=0，表示该物品为主件，如果q>0，表示该物品为附件，q是所属主件的编号）

【输出文件】

输出文件budget.out只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（<200000）。

【输入样例】

1000 5

800 2 0

400 5 1

300 5 1

400 3 0

500 2 0

【输出样例】

2200

题解

分析

此题是01背包问题的变形。
物品的重要度乘以价格是背包问题中的价值，物品的价格是背包问题中的体积。
一、我们可以把如何在众多主件与附件之中选择购买的问题转变为看成购买的5种方案：

1. 什么都不买
2. 只买主件
3. 买主件和附件1
4. 买主件和附件2
5. 买主件和两个附件。

二、有些主件有附件，而有些没有，这为我们思考带来了负担，我们完全可以假设任何主件都有两个附件，也就是说如果题目没有给出某个主件的附件的话，我们就假设这个主件的附件是存在的，且价格和重要度都等于0。
这个假设首先不会影响到程序的正确性，也不会增加多少运算时间，且这种假设使得我们想问题和写程序都变得简单多了。
三、题目中的价格都是10的这个条件，可以减少一些时间和空间的开销。
此题和01背包问题有2个主要的区别：

• 区别一：01背包问题对当前物品考虑的只有买和不买两种情况，而此题需要考虑上面所说的5种不同的购买方案。
• 区别二：01背包问题是用v[i]来保存第i个物品的价值，而此题需要用v[i]来保存第i个物品和它的两个附件的价值，此时我们需要二维数组来实现，物品体积w同样需要用二维数组来保存。

v[i][0] 表示第i个物品的主件价值， v[i][1] 表示第i个物品的第一个附件的价值， v[i][2] 表示第i个物品的第二个附件的价值。 w[i][0..2] 表示同样的物品的体积。
f[i,j] 表示给定i个物品和j的空间能够获得的最大价值总合。
则：
f[i,j]=max{f[i−1,j],
f[i−1,j−w[i,0]]+v[i,0],
f[i−1,j−w[i,0]w[i,1]]+v[i,0]+v[i,1],
f[i−1,j−w[i,0]−w[i,2]]+v[i,0]+v[i,2],
f[i−1,j−w[i,0]−w[i,1]−w[i,2]]+v[i,0]+v[i,1]+v[i,2]}

其实，此题还有一个关键点，就是输入数据的处理。
根据题目的意思，q是物品的编号，但是这个编号是在考虑附件时统计的编号，而我们认为附件和主件是一体的，因此附件编号因该和主件一致，所以我们需要对题目给出的编号进行转换。
当是主件的时候，编号直接进入累计，而是附件的时候，则需要对应到相应的主件之下。
这样：

if (c) {
   if (w[c][1]) {
      v[c][2]=a*b;
      w[c][2]=a;
   }
   else {
        v[c][1]=a*b;
        w[c][1]=a;
        }
   }
   else {
        v[i][0]=a*b;
        w[i][0]=a;
   }
}

代码

#include
#include
#include
using namespace std;

int w[61][3]={0};
int v[61][3]={0};
int n,m;
int f[61][30001][5]={0};
int main()
{
    freopen("budget.in","r",stdin);
    freopen("budget.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&m,&n);
    int a,b,c;
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        if (c) {
           if (w[c][1]) {
              v[c][2]=a*b;
              w[c][2]=a;
           }
           else {
              v[c][1]=a*b;
              w[c][1]=a;
           }
        }
        else {
           v[i][0]=a*b;
           w[i][0]=a;
        }
    }
    int i,j,k;
    int maxx=0;
    for (i=1;i<=n;i++) 
        for (j=1;j<=m;j++) {
            for (k=0;k<5;k++) {
                f[i][j][0]=max(f[i][j][0],f[i-1][j][k]);
                if (j-w[i][0]>=0)
                   f[i][j][1]=max(f[i][j][1],f[i-1][j-w[i][0]][k]+v[i][0]);
                if (j-w[i][0]-w[i][1]>=0)
                   f[i][j][2]=max(f[i][j][2],f[i-1][j-w[i][0]-w[i][1]][k]+v[i][0]+v[i][1]);
                if (j-w[i][0]-w[i][2]>=0)
                   f[i][j][3]=max(f[i][j][3],f[i-1][j-w[i][0]-w[i][2]][k]+v[i][0]+v[i][2]);
                if (j-w[i][0]-w[i][1]-w[i][2]>=0)
                   f[i][j][4]=max(f[i][j][4],f[i-1][j-w[i][0]-w[i][1]-w[i][2]][k]+v[i][0]+v[i][1]+v[i][2]); 
            }
            for (k=0;k<5;k++)
                maxx=max(maxx,f[i][j][k]);
        }
    printf("%d\n",maxx);
    return 0;
}

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我今天就发五篇题解，放过我吧