GDOI2008 指纹 题解

题意

有$n$张图片，第$i$张图片有$A,B,C,D$四个元素。

称一张图片是累赘的：有两张图片$x,y$，如果$x$有至少三个元素大于$y$所对应的三个元素，那个$y$就是累赘的。

例如$x(A,B,C,D)=(2,3,3,4),y(A,B,C,D)=(4,2,5,6)$，其中$x_A>y_A,x_C>y_C,x_D>y_D$，那么$y$就是累赘的。要注意，$x$有可能是累赘的。

输出有多少张累赘的图片$m$张，接下来$m$行由小到大输出累赘图片的编号。

$1\le n\le 10^5$

输入

6
1 1 2 6
2 3 3 4
3 4 1 3
4 2 6 5
5 6 5 1
6 5 4 2

输出

4
2
4
5
6

思路

（看着像偏序）

先把每$i$张图片的四个信息，转化成$4$个信息下$i$个元素各自的排名。

因为称$y$图片是累赘的，只需要找到一张图片$x$存在三个元素大于$y$所对应的就行，并把$y$标记为$uls$的（useless 累赘）。至于是哪一张图片使得$y$成为累赘的并不重要，这是最关键的。

那么可以四个里面随便钦定三个元素进行比对，那么只需$4$次比对。设为$a,b,c$为比对的元素，考虑“以累赘的视角计算自己怎么被搞成累赘的”。

先按$a$元素排序，然后在树状数组上，以$b$元素的排名作为下标，维护一个最小$c$元素排名值。

听着很抽象啊！

假设当按$a$元素从小到大排序，所对应的$pos$为原下标，对应的$b,c$属性排名分别是是$b_{pos},c_{pos}$，每次向下标$b_{pos}$加入$c_{pos}$取最小值。

在树状数组上查询$b$属性排名在$[1,b_{pos})$的最小$c$属性的排名记为$minc$，此时假设$\exists po{s}^{\prime },minc=c_{po{s}^{\prime }}$。

显然在树状数组上查找，显然$b_{po{s}^{\prime }}\in [1,b_{pos})，b_{po{s}^{\prime }}<b_{pos}$；因为下标$po{s}^{\prime }$肯定在$pos$前被处理，所以$a_{po{s}^{\prime }}<a_{pos}$——现在$po{s}^{\prime }$已经有两个元素小于$pos$了。

如果$minc=c_{po{s}^{\prime }}<c_{pos}$，那么就满足$po{s}^{\prime }$有三个元素小于$pos$了，$pos$可以被标记为$uls$。又因为$po{s}^{\prime }$能使$pos$成为累赘，必然也能使“能被$pos$搞成累赘的”标记为累赘，所以不必把$pos$的$c_{p}os$放进树状数组了。

否则$pos$就不是累赘的，且$c_{pos}\le c_{po{s}^{\prime }}$，$b_{pos}$下的$c_{pos}$有可能能比“接下来处理的，$a$元素排名肯定比当前$a_{pos}$大的，$b$元素排名比$b_{pos}$大的图片$x$"的$c$元素要小，使$x$成为累赘，因此把$pos$的$c_{pos}$放进树状数组里。

好累啊~~

时间复杂度$\Theta (n{\log }_{2}n)$

#include
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=2e6+9,inf=0x3f3f3f3f;
ll n,m,a[5][N];
bool uls[N];//useless
struct BT
{
	ll T[N];
	ll lowbit(ll x)
	{
		return x&(-x);
	}
	void add(ll x,ll k)
	{
		for(int i=x;i<N;i+=lowbit(i))
		T[i]=min(T[i],k);
	}
	ll query(ll x)
	{
		ll ret=inf;
		for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
		ret=min(ret,T[i]);
		return ret;
	}
}B;
struct node
{
	ll rk,id;
}p[N];
bool cmp(node x,node y)
{
	return x.rk<y.rk;
}
void sol(ll *a,ll *b,ll *c)
{
	memset(B.T,inf,sizeof(B.T));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	p[i]=(node){a[i],i};
	sort(p+1,p+n+1,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ll pos=p[i].id,minc=B.query(b[pos]);
		if(c[pos]>minc)uls[pos]=1;
		else B.add(b[pos],c[pos]);
	}
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=4;j++)
	scanf("%lld",&a[j][i]);
	sol(a[1],a[2],a[3]);
	sol(a[1],a[2],a[4]);
	sol(a[1],a[3],a[4]);
	sol(a[2],a[3],a[4]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	m+=uls[i];
	printf("%lld\n",m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	if(uls[i])printf("%lld\n",i);
	return 0;
}