贝塞曲线求导、积分

为了计算贝塞曲线上一点上的切线和法线向量，我们必须计算该点的一阶和二阶导数。幸运的是，计算贝塞曲线上一个点的导数很容易。

回想一下，由n + 1个控制点 P ₀，P ₁，...， P _n定义的Bézier曲线具有以下等式：

其中B _n，i（u）定义如下：

由于控制点是常数并且与变量u无关，所以 计算C '（u）可简化为计算B _n，i（u）的导数。使用一些简单的代数运算，我们得到以下结果 B^'_n,i(u)：

然后，计算得出C（u）的导数：

让Q ₀ = Ñ（P ₁ - P ₀），Q ₁ = Ñ（P ₂ - P ₁）， Q ₂ = Ñ（P ₃ - P ₂），...， Q _Ñ -1 = Ñ（P _Ñ - P _n -1）。上面的公式简化如下：

因此，n阶贝塞曲线的导数是一个n-1阶贝塞曲线。一旦控制点已知，其导数曲线的控制点就可以立即获得。左下图为一个7阶贝塞尔曲线，右图为它的导数，6阶贝塞尔曲线。

  关于积分有了导数自然就解决了